Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = - 3 x^{2} + 6 x + 5$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Составим полный квадрат для $- 3 x^{2} + 6 x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 3$

$b = 6$

$c = 5$

Этап 1.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.1.1.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 3$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (- 3)}$

Этап 1.1.1.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.1.1.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{3}{- 3}$

Этап 1.1.1.3.2.2

Сократим общий множитель $3$ и $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$d = \frac{3 (1)}{- 3}$

Этап 1.1.1.3.2.2.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.1.3.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$d = - 1$

Этап 1.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 5 - \frac{6^{2}}{4 \cdot - 3}$

Этап 1.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$e = 5 - \frac{36}{4 \cdot - 3}$

Этап 1.1.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 3$ .

$e = 5 - \frac{36}{- 12}$

Этап 1.1.1.4.2.1.3

Разделим $36$ на $- 12$ .

$e = 5 - - 3$

Этап 1.1.1.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$e = 5 + 3$

Этап 1.1.1.4.2.2

Добавим $5$ и $3$ .

$e = 8$

Этап 1.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- 3 {(x - 1)}^{2} + 8$ .

$- 3 {(x - 1)}^{2} + 8$

Этап 1.1.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = - 3 {(x - 1)}^{2} + 8$

Этап 1.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - 3$

$h = 1$

$k = 8$

Этап 1.3

Поскольку $a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены вниз.

вниз

Этап 1.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(1, 8)$

Этап 1.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot - 3}$

Этап 1.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Умножим $4$ на $- 3$ .

$\frac{1}{- 12}$

Этап 1.5.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{12}$

Этап 1.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(1, \frac{95}{12})$

Этап 1.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = 1$

Этап 1.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = \frac{97}{12}$

Этап 1.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(1, 8)$

Фокус: $(1, \frac{95}{12})$

Ось симметрии: $x = 1$

Директриса: $y = \frac{97}{12}$

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(1, 8)$

Фокус: $(1, \frac{95}{12})$

Ось симметрии: $x = 1$

Директриса: $y = \frac{97}{12}$

Этап 2

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = - 3 {(0)}^{2} + 6 (0) + 5$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = - 3 \cdot 0 + 6 (0) + 5$

Этап 2.2.1.2

Умножим $- 3$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 6 (0) + 5$

Этап 2.2.1.3

Умножим $6$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 5$

Этап 2.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 5$

Этап 2.2.2.2

Добавим $0$ и $5$ .

$f (0) = 5$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $5$ .

$5$

Этап 2.3

Значение $y$ при $x = 0$ равно $5$ .

$y = 5$

Этап 2.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = - 3 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) + 5$

Этап 2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = - 3 \cdot 1 + 6 (- 1) + 5$

Этап 2.5.1.2

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f (- 1) = - 3 + 6 (- 1) + 5$

Этап 2.5.1.3

Умножим $6$ на $- 1$ .

$f (- 1) = - 3 - 6 + 5$

Этап 2.5.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем $6$ из $- 3$ .

$f (- 1) = - 9 + 5$

Этап 2.5.2.2

Добавим $- 9$ и $5$ .

$f (- 1) = - 4$

Этап 2.5.3

Окончательный ответ: $- 4$ .

$- 4$

Этап 2.6

Значение $y$ при $x = - 1$ равно $- 4$ .

$y = - 4$

Этап 2.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = - 3 {(2)}^{2} + 6 (2) + 5$

Этап 2.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = - 3 \cdot 4 + 6 (2) + 5$

Этап 2.8.1.2

Умножим $- 3$ на $4$ .

$f (2) = - 12 + 6 (2) + 5$

Этап 2.8.1.3

Умножим $6$ на $2$ .

$f (2) = - 12 + 12 + 5$

Этап 2.8.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Добавим $- 12$ и $12$ .

$f (2) = 0 + 5$

Этап 2.8.2.2

Добавим $0$ и $5$ .

$f (2) = 5$

Этап 2.8.3

Окончательный ответ: $5$ .

$5$

Этап 2.9

Значение $y$ при $x = 2$ равно $5$ .

$y = 5$

Этап 2.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = - 3 {(3)}^{2} + 6 (3) + 5$

Этап 2.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (3) = - 3 \cdot 9 + 6 (3) + 5$

Этап 2.11.1.2

Умножим $- 3$ на $9$ .

$f (3) = - 27 + 6 (3) + 5$

Этап 2.11.1.3

Умножим $6$ на $3$ .

$f (3) = - 27 + 18 + 5$

Этап 2.11.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

Добавим $- 27$ и $18$ .

$f (3) = - 9 + 5$

Этап 2.11.2.2

Добавим $- 9$ и $5$ .

$f (3) = - 4$

Этап 2.11.3

Окончательный ответ: $- 4$ .

$- 4$

Этап 2.12

Значение $y$ при $x = 3$ равно $- 4$ .

$y = - 4$

Этап 2.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 4 \\ 0 & 5 \\ 1 & 8 \\ 2 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(1, 8)$

Фокус: $(1, \frac{95}{12})$

Ось симметрии: $x = 1$

Директриса: $y = \frac{97}{12}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 4 \\ 0 & 5 \\ 1 & 8 \\ 2 & 5 \\ 3 & - 4 \end{array}$

Этап 4