Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 3 \log (x + 5) + 2$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем, где выражение $\log ({(x + 5)}^{3}) + 2$ не определено.

$x \leq - 5$

Этап 1.2

Поскольку $\log ({(x + 5)}^{3}) + 2$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $- 5$ слева, а $\log ({(x + 5)}^{3}) + 2$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $- 5$ справа, то $x = - 5$ — вертикальная асимптота.

$x = - 5$

Этап 1.3

Игнорируя логарифм, рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 1.4

Горизонтальные асимптоты отсутствуют, поскольку $Q (x)$ равно $1$ .

Нет горизонтальных асимптот

Этап 1.5

У логарифмических и тригонометрических функций нет наклонных асимптот.

Нет наклонных асимптот

Этап 1.6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - 5$

Нет горизонтальных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = - 5$

Нет горизонтальных асимптот

Этап 2

Найдем точку в $x = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f (- 4) = 3 \log ((- 4) + 5) + 2$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Добавим $- 4$ и $5$ .

$f (- 4) = 3 \log (1) + 2$

Этап 2.2.1.2

Логарифм $1$ по основанию $10$ равен $0$ .

$f (- 4) = 3 \cdot 0 + 2$

Этап 2.2.1.3

Умножим $3$ на $0$ .

$f (- 4) = 0 + 2$

Этап 2.2.2

Добавим $0$ и $2$ .

$f (- 4) = 2$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 2.3

Преобразуем $2$ в десятичное представление.

$y = 2$

Этап 3

Найдем точку в $x = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f (5) = 3 \log ((5) + 5) + 2$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Добавим $5$ и $5$ .

$f (5) = 3 \log (10) + 2$

Этап 3.2.1.2

Логарифм $10$ по основанию $10$ равен $1$ .

$f (5) = 3 \cdot 1 + 2$

Этап 3.2.1.3

Умножим $3$ на $1$ .

$f (5) = 3 + 2$

Этап 3.2.2

Добавим $3$ и $2$ .

$f (5) = 5$

Этап 3.2.3

Окончательный ответ: $5$ .

$5$

Этап 3.3

Преобразуем $5$ в десятичное представление.

$y = 5$

Этап 4

Найдем точку в $x = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f (- 3) = 3 \log ((- 3) + 5) + 2$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Добавим $- 3$ и $5$ .

$f (- 3) = 3 \log (2) + 2$

Этап 4.2.1.2

Упростим $3 \log (2)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$f (- 3) = \log (2^{3}) + 2$

Этап 4.2.1.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (- 3) = \log (8) + 2$

Этап 4.2.2

Окончательный ответ: $\log (8) + 2$ .

$\log (8) + 2$

Этап 4.3

Преобразуем $\log (8) + 2$ в десятичное представление.

$y = 2.90308998$

Этап 5

График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке $x = - 5$ и точек $(- 4, 2), (5, 5), (- 3, 2.90308998)$ .

Вертикальная асимптота: $x = - 5$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 2 \\ - 3 & 2.903 \\ 5 & 5 \end{array}$

Этап 6