Основы мат. анализа Примеры

$\sqrt{x} + x = 1$

Этап 1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{x} = 1 - x$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x}}^{2} = {(1 - x)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 - x)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 - x)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 - x)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = {(1 - x)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$x = {(1 - x)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(1 - x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(1 - x)}^{2}$ в виде $(1 - x) (1 - x)$ .

$x = (1 - x) (1 - x)$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(1 - x) (1 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = 1 (1 - x) - x (1 - x)$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x = 1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x)$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x = 1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$x = 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)$

Этап 3.3.1.3.1.2

Умножим $- x$ на $1$ .

$x = 1 - x - x \cdot 1 - x (- x)$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x = 1 - x - x - x (- x)$

Этап 3.3.1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x = 1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Этап 3.3.1.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$x = 1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Этап 3.3.1.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x = 1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1 - x - x + 1 x^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.7

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x = 1 - x - x + x^{2}$

Этап 3.3.1.3.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$x = 1 - 2 x + x^{2}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$1 - 2 x + x^{2} = x$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$1 - 2 x + x^{2} - x = 0$

Этап 4.2.2

Вычтем $x$ из $- 2 x$ .

$1 + x^{2} - 3 x = 0$

Этап 4.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.4

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 3$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.3

Вычтем $4$ из $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Этап 4.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{x} + x = 1$ истинным.

$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Десятичная форма:

$x = 0.38196601 \dots$