Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{2} + 16 x + 64$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Составим полный квадрат для $x^{2} + 16 x + 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = 16$

$c = 64$

Этап 1.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{16}{2 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.3.2

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 (1)}$

Этап 1.1.1.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{8}{1}$

Этап 1.1.1.3.2.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$d = 8$

Этап 1.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 64 - \frac{16^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.1

Возведем $16$ в степень $2$ .

$e = 64 - \frac{256}{4 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 64 - \frac{256}{4}$

Этап 1.1.1.4.2.1.3

Разделим $256$ на $4$ .

$e = 64 - 1 \cdot 64$

Этап 1.1.1.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $64$ .

$e = 64 - 64$

Этап 1.1.1.4.2.2

Вычтем $64$ из $64$ .

$e = 0$

Этап 1.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x + 8)}^{2} + 0$ .

${(x + 8)}^{2} + 0$

Этап 1.1.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = {(x + 8)}^{2} + 0$

Этап 1.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 1$

$h = - 8$

$k = 0$

Этап 1.3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 1.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- 8, 0)$

Этап 1.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 1.5.3

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 1.5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4}$

Этап 1.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 8, \frac{1}{4})$

Этап 1.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = - 8$

Этап 1.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = - \frac{1}{4}$

Этап 1.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- 8, 0)$

Фокус: $(- 8, \frac{1}{4})$

Ось симметрии: $x = - 8$

Директриса: $y = - \frac{1}{4}$

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- 8, 0)$

Фокус: $(- 8, \frac{1}{4})$

Ось симметрии: $x = - 8$

Директриса: $y = - \frac{1}{4}$

Этап 2

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 9$ .

$f (- 9) = {(- 9)}^{2} + 16 (- 9) + 64$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Возведем $- 9$ в степень $2$ .

$f (- 9) = 81 + 16 (- 9) + 64$

Этап 2.2.1.2

Умножим $16$ на $- 9$ .

$f (- 9) = 81 - 144 + 64$

Этап 2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вычтем $144$ из $81$ .

$f (- 9) = - 63 + 64$

Этап 2.2.2.2

Добавим $- 63$ и $64$ .

$f (- 9) = 1$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 2.3

Значение $y$ при $x = - 9$ равно $1$ .

$y = 1$

Этап 2.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 10$ .

$f (- 10) = {(- 10)}^{2} + 16 (- 10) + 64$

Этап 2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $- 10$ в степень $2$ .

$f (- 10) = 100 + 16 (- 10) + 64$

Этап 2.5.1.2

Умножим $16$ на $- 10$ .

$f (- 10) = 100 - 160 + 64$

Этап 2.5.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем $160$ из $100$ .

$f (- 10) = - 60 + 64$

Этап 2.5.2.2

Добавим $- 60$ и $64$ .

$f (- 10) = 4$

Этап 2.5.3

Окончательный ответ: $4$ .

$4$

Этап 2.6

Значение $y$ при $x = - 10$ равно $4$ .

$y = 4$

Этап 2.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 7$ .

$f (- 7) = {(- 7)}^{2} + 16 (- 7) + 64$

Этап 2.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Возведем $- 7$ в степень $2$ .

$f (- 7) = 49 + 16 (- 7) + 64$

Этап 2.8.1.2

Умножим $16$ на $- 7$ .

$f (- 7) = 49 - 112 + 64$

Этап 2.8.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Вычтем $112$ из $49$ .

$f (- 7) = - 63 + 64$

Этап 2.8.2.2

Добавим $- 63$ и $64$ .

$f (- 7) = 1$

Этап 2.8.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 2.9

Значение $y$ при $x = - 7$ равно $1$ .

$y = 1$

Этап 2.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 6$ .

$f (- 6) = {(- 6)}^{2} + 16 (- 6) + 64$

Этап 2.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$f (- 6) = 36 + 16 (- 6) + 64$

Этап 2.11.1.2

Умножим $16$ на $- 6$ .

$f (- 6) = 36 - 96 + 64$

Этап 2.11.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

Вычтем $96$ из $36$ .

$f (- 6) = - 60 + 64$

Этап 2.11.2.2

Добавим $- 60$ и $64$ .

$f (- 6) = 4$

Этап 2.11.3

Окончательный ответ: $4$ .

$4$

Этап 2.12

Значение $y$ при $x = - 6$ равно $4$ .

$y = 4$

Этап 2.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 10 & 4 \\ - 9 & 1 \\ - 8 & 0 \\ - 7 & 1 \\ - 6 & 4 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- 8, 0)$

Фокус: $(- 8, \frac{1}{4})$

Ось симметрии: $x = - 8$

Директриса: $y = - \frac{1}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 10 & 4 \\ - 9 & 1 \\ - 8 & 0 \\ - 7 & 1 \\ - 6 & 4 \end{array}$

Этап 4