Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 16 - \frac{1}{4} x^{2}$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Упростим $16 - \frac{1}{4} x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{4}$ .

$y = 16 - \frac{x^{2}}{4}$

Этап 1.1.1.2

Изменим порядок $16$ и $- \frac{x^{2}}{4}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + 16$

Этап 1.1.2

Составим полный квадрат для $- \frac{x^{2}}{4} + 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$b = 0$

$c = 16$

Этап 1.1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 (- \frac{1}{4})}$

Этап 1.1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (- \frac{1}{4})}$

Этап 1.1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (- \frac{1}{4})}$

Этап 1.1.2.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$d = \frac{0}{- \frac{1}{4}}$

Этап 1.1.2.3.2.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = 0 (- 1 \cdot 4)$

Этап 1.1.2.3.2.3

Умножим $0 (- 1 \cdot 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.2.3.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$d = 0 \cdot - 4$

Этап 1.1.2.3.2.3.2

Умножим $0$ на $- 4$ .

$d = 0$

Этап 1.1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 16 - \frac{0^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Этап 1.1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$e = 16 - \frac{0}{4 (- \frac{1}{4})}$

Этап 1.1.2.4.2.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = 16 - \frac{0}{- 4 (\frac{1}{4})}$

Этап 1.1.2.4.2.1.2.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{4}$ .

$e = 16 - \frac{0}{\frac{- 4}{4}}$

Этап 1.1.2.4.2.1.3

Разделим $- 4$ на $4$ .

$e = 16 - \frac{0}{- 1}$

Этап 1.1.2.4.2.1.4

Разделим $0$ на $- 1$ .

$e = 16 - 0$

Этап 1.1.2.4.2.1.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$e = 16 + 0$

Этап 1.1.2.4.2.2

Добавим $16$ и $0$ .

$e = 16$

Этап 1.1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- \frac{1}{4} {(x + 0)}^{2} + 16$ .

$- \frac{1}{4} {(x + 0)}^{2} + 16$

Этап 1.1.3

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = - \frac{1}{4} \cdot {(x + 0)}^{2} + 16$

Этап 1.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$h = 0$

$k = 16$

Этап 1.3

Поскольку $a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены вниз.

вниз

Этап 1.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(0, 16)$

Этап 1.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Этап 1.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Этап 1.5.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Этап 1.5.3.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Этап 1.5.3.3

Разделим $4$ на $4$ .

$- \frac{1}{1}$

Этап 1.5.3.4

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{1}$

Этап 1.5.3.4.2

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot 1$

Этап 1.5.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 1.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(0, 15)$

Этап 1.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = 0$

Этап 1.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = 17$

Этап 1.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(0, 16)$

Фокус: $(0, 15)$

Ось симметрии: $x = 0$

Директриса: $y = 17$

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(0, 16)$

Фокус: $(0, 15)$

Ось симметрии: $x = 0$

Директриса: $y = 17$

Этап 2

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{4} + 16$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2) = - \frac{4}{4} + 16$

Этап 2.2.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$f (- 2) = - \frac{4}{4} + 16$

Этап 2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$f (- 2) = - 1 \cdot 1 + 16$

Этап 2.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (- 2) = - 1 + 16$

Этап 2.2.2

Добавим $- 1$ и $16$ .

$f (- 2) = 15$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $15$ .

$15$

Этап 2.3

Значение $y$ при $x = - 2$ равно $15$ .

$y = 15$

Этап 2.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{4} + 16$

Этап 2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{4} + 16$

Этап 2.5.2

Чтобы записать $16$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{4} + 16 \cdot \frac{4}{4}$

Этап 2.5.3

Объединим $16$ и $\frac{4}{4}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{4} + \frac{16 \cdot 4}{4}$

Этап 2.5.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 1) = \frac{- 1 + 16 \cdot 4}{4}$

Этап 2.5.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Умножим $16$ на $4$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 + 64}{4}$

Этап 2.5.5.2

Добавим $- 1$ и $64$ .

$f (- 1) = \frac{63}{4}$

Этап 2.5.6

Окончательный ответ: $\frac{63}{4}$ .

$\frac{63}{4}$

Этап 2.6

Значение $y$ при $x = - 1$ равно $\frac{63}{4}$ .

$y = \frac{63}{4}$

Этап 2.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{4} + 16$

Этап 2.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = - \frac{4}{4} + 16$

Этап 2.8.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.2.1

Сократим общий множитель.

$f (2) = - \frac{4}{4} + 16$

Этап 2.8.1.2.2

Перепишем это выражение.

$f (2) = - 1 \cdot 1 + 16$

Этап 2.8.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (2) = - 1 + 16$

Этап 2.8.2

Добавим $- 1$ и $16$ .

$f (2) = 15$

Этап 2.8.3

Окончательный ответ: $15$ .

$15$

Этап 2.9

Значение $y$ при $x = 2$ равно $15$ .

$y = 15$

Этап 2.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{4} + 16$

Этап 2.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = - \frac{1}{4} + 16$

Этап 2.11.2

Чтобы записать $16$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f (1) = - \frac{1}{4} + 16 \cdot \frac{4}{4}$

Этап 2.11.3

Объединим $16$ и $\frac{4}{4}$ .

$f (1) = - \frac{1}{4} + \frac{16 \cdot 4}{4}$

Этап 2.11.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (1) = \frac{- 1 + 16 \cdot 4}{4}$

Этап 2.11.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.5.1

Умножим $16$ на $4$ .

$f (1) = \frac{- 1 + 64}{4}$

Этап 2.11.5.2

Добавим $- 1$ и $64$ .

$f (1) = \frac{63}{4}$

Этап 2.11.6

Окончательный ответ: $\frac{63}{4}$ .

$\frac{63}{4}$

Этап 2.12

Значение $y$ при $x = 1$ равно $\frac{63}{4}$ .

$y = \frac{63}{4}$

Этап 2.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 15 \\ - 1 & \frac{63}{4} \\ 0 & 16 \\ 1 & \frac{63}{4} \\ 2 & 15 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(0, 16)$

Фокус: $(0, 15)$

Ось симметрии: $x = 0$

Директриса: $y = 17$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 15 \\ - 1 & \frac{63}{4} \\ 0 & 16 \\ 1 & \frac{63}{4} \\ 2 & 15 \end{array}$

Этап 4