Основы мат. анализа Примеры

${(6 x + 5)}^{3}$

Этап 1

Используем формулу биномиального разложения, чтобы найти каждый член. Бином Ньютона имеет вид ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(6 x)}^{3 - k} \cdot {(5)}^{k}$

Этап 2

Развернем сумму.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} \cdot {(6 x)}^{3 - 0} \cdot {(5)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} \cdot {(6 x)}^{3 - 1} \cdot {(5)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} \cdot {(6 x)}^{3 - 2} \cdot {(5)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} \cdot {(6 x)}^{3 - 3} \cdot {(5)}^{3}$

Этап 3

Упростим экспоненты для каждого члена разложения.

$1 \cdot {(6 x)}^{3} \cdot {(5)}^{0} + 3 \cdot {(6 x)}^{2} \cdot {(5)}^{1} + 3 \cdot {(6 x)}^{1} \cdot {(5)}^{2} + 1 \cdot {(6 x)}^{0} \cdot {(5)}^{3}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим ${(6 x)}^{3}$ на $1$ .

${(6 x)}^{3} \cdot {(5)}^{0} + 3 \cdot {(6 x)}^{2} \cdot {(5)}^{1} + 3 \cdot {(6 x)}^{1} \cdot {(5)}^{2} + 1 \cdot {(6 x)}^{0} \cdot {(5)}^{3}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $6 x$ .

$6^{3} x^{3} \cdot {(5)}^{0} + 3 \cdot {(6 x)}^{2} \cdot {(5)}^{1} + 3 \cdot {(6 x)}^{1} \cdot {(5)}^{2} + 1 \cdot {(6 x)}^{0} \cdot {(5)}^{3}$

Этап 4.3

Возведем $6$ в степень $3$ .

$216 x^{3} \cdot {(5)}^{0} + 3 \cdot {(6 x)}^{2} \cdot {(5)}^{1} + 3 \cdot {(6 x)}^{1} \cdot {(5)}^{2} + 1 \cdot {(6 x)}^{0} \cdot {(5)}^{3}$

Этап 4.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$216 x^{3} \cdot 1 + 3 \cdot {(6 x)}^{2} \cdot {(5)}^{1} + 3 \cdot {(6 x)}^{1} \cdot {(5)}^{2} + 1 \cdot {(6 x)}^{0} \cdot {(5)}^{3}$

Этап 4.5

Умножим $216$ на $1$ .

$216 x^{3} + 3 \cdot {(6 x)}^{2} \cdot {(5)}^{1} + 3 \cdot {(6 x)}^{1} \cdot {(5)}^{2} + 1 \cdot {(6 x)}^{0} \cdot {(5)}^{3}$

Этап 4.6

Применим правило умножения к $6 x$ .

$216 x^{3} + 3 \cdot (6^{2} x^{2}) \cdot {(5)}^{1} + 3 \cdot {(6 x)}^{1} \cdot {(5)}^{2} + 1 \cdot {(6 x)}^{0} \cdot {(5)}^{3}$

Этап 4.7

Возведем $6$ в степень $2$ .

$216 x^{3} + 3 \cdot (36 x^{2}) \cdot {(5)}^{1} + 3 \cdot {(6 x)}^{1} \cdot {(5)}^{2} + 1 \cdot {(6 x)}^{0} \cdot {(5)}^{3}$

Этап 4.8

Умножим $36$ на $3$ .

$216 x^{3} + 108 x^{2} \cdot {(5)}^{1} + 3 \cdot {(6 x)}^{1} \cdot {(5)}^{2} + 1 \cdot {(6 x)}^{0} \cdot {(5)}^{3}$

Этап 4.9

Найдем экспоненту.

$216 x^{3} + 108 x^{2} \cdot 5 + 3 \cdot {(6 x)}^{1} \cdot {(5)}^{2} + 1 \cdot {(6 x)}^{0} \cdot {(5)}^{3}$

Этап 4.10

Умножим $5$ на $108$ .

$216 x^{3} + 540 x^{2} + 3 \cdot {(6 x)}^{1} \cdot {(5)}^{2} + 1 \cdot {(6 x)}^{0} \cdot {(5)}^{3}$

Этап 4.11

Упростим.

$216 x^{3} + 540 x^{2} + 3 \cdot (6 x) \cdot {(5)}^{2} + 1 \cdot {(6 x)}^{0} \cdot {(5)}^{3}$

Этап 4.12

Умножим $6$ на $3$ .

$216 x^{3} + 540 x^{2} + 18 x \cdot {(5)}^{2} + 1 \cdot {(6 x)}^{0} \cdot {(5)}^{3}$

Этап 4.13

Возведем $5$ в степень $2$ .

$216 x^{3} + 540 x^{2} + 18 x \cdot 25 + 1 \cdot {(6 x)}^{0} \cdot {(5)}^{3}$

Этап 4.14

Умножим $25$ на $18$ .

$216 x^{3} + 540 x^{2} + 450 x + 1 \cdot {(6 x)}^{0} \cdot {(5)}^{3}$

Этап 4.15

Умножим ${(6 x)}^{0}$ на $1$ .

$216 x^{3} + 540 x^{2} + 450 x + {(6 x)}^{0} \cdot {(5)}^{3}$

Этап 4.16

Применим правило умножения к $6 x$ .

$216 x^{3} + 540 x^{2} + 450 x + 6^{0} x^{0} \cdot {(5)}^{3}$

Этап 4.17

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$216 x^{3} + 540 x^{2} + 450 x + 1 x^{0} \cdot {(5)}^{3}$

Этап 4.18

Умножим $x^{0}$ на $1$ .

$216 x^{3} + 540 x^{2} + 450 x + x^{0} \cdot {(5)}^{3}$

Этап 4.19

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$216 x^{3} + 540 x^{2} + 450 x + 1 \cdot {(5)}^{3}$

Этап 4.20

Умножим ${(5)}^{3}$ на $1$ .

$216 x^{3} + 540 x^{2} + 450 x + {(5)}^{3}$

Этап 4.21

Возведем $5$ в степень $3$ .

$216 x^{3} + 540 x^{2} + 450 x + 125$