Основы мат. анализа Примеры

$(\frac{π}{2}, π)$

Этап 1

Чтобы найти $\sin (θ)$ угла между осью x и прямой, соединяющей точки $(0, 0)$ и $(\frac{π}{2}, π)$ , нарисуем треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$ , $(\frac{π}{2}, 0)$ и $(\frac{π}{2}, π)$ .

Противоположное: $π$

Смежный: $\frac{π}{2}$

Этап 2

Найдем гипотенузу, используя теорему Пифагора $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило умножения к $\frac{π}{2}$ .

$\sqrt{\frac{π^{2}}{2^{2}} + {(π)}^{2}}$

Этап 2.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{π^{2}}{4} + {(π)}^{2}}$

Этап 2.3

Чтобы записать $π^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{π^{2}}{4} + π^{2} \cdot \frac{4}{4}}$

Этап 2.4

Объединим $π^{2}$ и $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{π^{2}}{4} + \frac{π^{2} \cdot 4}{4}}$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{π^{2} + π^{2} \cdot 4}{4}}$

Этап 2.6

Перепишем $\frac{π^{2} + π^{2} \cdot 4}{4}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Перенесем $4$ влево от $π^{2}$ .

$\sqrt{\frac{π^{2} + 4 \cdot π^{2}}{4}}$

Этап 2.6.2

Добавим $π^{2}$ и $4 π^{2}$ .

$\sqrt{\frac{5 π^{2}}{4}}$

Этап 2.7

Перепишем $\sqrt{\frac{5 π^{2}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{5 π^{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{5 π^{2}}}{\sqrt{4}}$

Этап 2.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Изменим порядок $5$ и $π^{2}$ .

$\frac{\sqrt{π^{2} \cdot 5}}{\sqrt{4}}$

Этап 2.8.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{π \sqrt{5}}{\sqrt{4}}$

Этап 2.9

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{π \sqrt{5}}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 2.9.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{π \sqrt{5}}{2}$

Этап 3

$\sin (θ) = \frac{Противоположные}{Гипотенуза}$ , следовательно $\sin (θ) = \frac{π}{\frac{π \sqrt{5}}{2}}$ .

$\frac{π}{\frac{π \sqrt{5}}{2}}$

Этап 4

Упростим $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sin (θ) = π (\frac{2}{π \sqrt{5}})$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $π$ из $π \sqrt{5}$ .

$\sin (θ) = π (\frac{2}{π (\sqrt{5})})$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель.

$\sin (θ) = π (\frac{2}{π \sqrt{5}})$

Этап 4.2.3

Перепишем это выражение.

$\sin (θ) = \frac{2}{\sqrt{5}}$

Этап 4.3

Умножим $\frac{2}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sin (θ) = \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Этап 4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 4.4.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 4.4.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 4.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Этап 4.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 4.4.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Этап 4.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Этап 5

Аппроксимируем результат.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \approx 0.89442719$