Основы мат. анализа Примеры

$\sqrt{x + 1} - 3 x = 1$

Этап 1

Добавим $3 x$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{x + 1} = 1 + 3 x$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x + 1}}^{2} = {(1 + 3 x)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 1}$ в виде ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + 3 x)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + 3 x)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + 3 x)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x + 1)}^{1} = {(1 + 3 x)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$x + 1 = {(1 + 3 x)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(1 + 3 x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(1 + 3 x)}^{2}$ в виде $(1 + 3 x) (1 + 3 x)$ .

$x + 1 = (1 + 3 x) (1 + 3 x)$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(1 + 3 x) (1 + 3 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 1 = 1 (1 + 3 x) + 3 x (1 + 3 x)$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 1 = 1 \cdot 1 + 1 (3 x) + 3 x (1 + 3 x)$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 1 = 1 \cdot 1 + 1 (3 x) + 3 x \cdot 1 + 3 x (3 x)$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$x + 1 = 1 + 1 (3 x) + 3 x \cdot 1 + 3 x (3 x)$

Этап 3.3.1.3.1.2

Умножим $3 x$ на $1$ .

$x + 1 = 1 + 3 x + 3 x \cdot 1 + 3 x (3 x)$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $3$ на $1$ .

$x + 1 = 1 + 3 x + 3 x + 3 x (3 x)$

Этап 3.3.1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x + 1 = 1 + 3 x + 3 x + 3 \cdot 3 x \cdot x$

Этап 3.3.1.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$x + 1 = 1 + 3 x + 3 x + 3 \cdot 3 (x \cdot x)$

Этап 3.3.1.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x + 1 = 1 + 3 x + 3 x + 3 \cdot 3 x^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.6

Умножим $3$ на $3$ .

$x + 1 = 1 + 3 x + 3 x + 9 x^{2}$

Этап 3.3.1.3.2

Добавим $3 x$ и $3 x$ .

$x + 1 = 1 + 6 x + 9 x^{2}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$1 + 6 x + 9 x^{2} = x + 1$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$1 + 6 x + 9 x^{2} - x = 1$

Этап 4.2.2

Вычтем $x$ из $6 x$ .

$1 + 9 x^{2} + 5 x = 1$

Этап 4.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$1 + 9 x^{2} + 5 x - 1 = 0$

Этап 4.4

Объединим противоположные члены в $1 + 9 x^{2} + 5 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$9 x^{2} + 5 x + 0 = 0$

Этап 4.4.2

Добавим $9 x^{2} + 5 x$ и $0$ .

$9 x^{2} + 5 x = 0$

Этап 4.5

Вынесем множитель $x$ из $9 x^{2} + 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем множитель $x$ из $9 x^{2}$ .

$x (9 x) + 5 x = 0$

Этап 4.5.2

Вынесем множитель $x$ из $5 x$ .

$x (9 x) + x \cdot 5 = 0$

Этап 4.5.3

Вынесем множитель $x$ из $x (9 x) + x \cdot 5$ .

$x (9 x + 5) = 0$

Этап 4.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$9 x + 5 = 0$

Этап 4.7

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 4.8

Приравняем $9 x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Приравняем $9 x + 5$ к $0$ .

$9 x + 5 = 0$

Этап 4.8.2

Решим $9 x + 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$9 x = - 5$

Этап 4.8.2.2

Разделим каждый член $9 x = - 5$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.2.1

Разделим каждый член $9 x = - 5$ на $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 5}{9}$

Этап 4.8.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 5}{9}$

Этап 4.8.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{9}$

Этап 4.8.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5}{9}$

Этап 4.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (9 x + 5) = 0$ верно.

$x = 0, - \frac{5}{9}$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{x + 1} - 3 x = 1$ истинным.

$x = 0$