Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \log (x^{2} - 1)$

Этап 1

Зададим аргумент в $\log (x^{2} - 1)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x^{2} - 1 > 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $1$ к обеим частям неравенства.

$x^{2} > 1$

Этап 2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{1}$

Этап 2.3

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | > \sqrt{1}$

Этап 2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$| x | > 1$

Этап 2.4

Запишем $| x | > 1$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 2.4.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x > 1$

Этап 2.4.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 2.4.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x > 1$

Этап 2.4.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x > 1 & x \geq 0 \\ - x > 1 & x < 0 \end{cases}$

Этап 2.5

Найдем пересечение $x > 1$ и $x \geq 0$ .

$x > 1$

Этап 2.6

Разделим каждый член $- x > 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Разделим каждый член $- x > 1$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{1}{- 1}$

Этап 2.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} < \frac{1}{- 1}$

Этап 2.6.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{1}{- 1}$

Этап 2.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$x < - 1$

Этап 2.7

Найдем объединение решений.

$x < - 1$ или $x > 1$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 1) \cup (1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x < - 1, x > 1}$

Этап 4

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y \in ℝ}$

Этап 5

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $(- \infty, - 1) \cup (1, \infty), {x | x < - 1, x > 1}$

Диапазон: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Этап 6