Основы мат. анализа Примеры

$h (x) = \frac{\sqrt{4 - x}}{(x + 1) (x^{2} + 1)}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{4 - x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$4 - x \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $4$ из обеих частей неравенства.

$- x \geq - 4$

Этап 2.2

Разделим каждый член $- x \geq - 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $- x \geq - 4$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Этап 2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

$x \leq 4$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{\sqrt{4 - x}}{(x + 1) (x^{2} + 1)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$(x + 1) (x^{2} + 1) = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Этап 4.2

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 4.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 4.3

Приравняем $x^{2} + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Приравняем $x^{2} + 1$ к $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Этап 4.3.2

Решим $x^{2} + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 1$

Этап 4.3.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 4.3.2.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i$

Этап 4.3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i$

Этап 4.3.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i$

Этап 4.3.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i, - i$

Этап 4.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 1) (x^{2} + 1) = 0$ верно.

$x = - 1, i, - i$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 4]$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq 4, x \neq - 1}$

Этап 6