Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \sqrt{x^{4} - 16 x^{2}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x^{4} - 16 x^{2}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x^{4} - 16 x^{2} \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{4} - 16 x^{2} = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4} - 16 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - 16 x^{2} = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 16 x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16 = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16$ .

$x^{2} (x^{2} - 16) = 0$

Этап 2.2.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Этап 2.2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$x^{2} ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Этап 2.2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x^{2} (x + 4) (x - 4) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 2.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 2.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 2.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 2.6

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 2.6.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{2} (x + 4) (x - 4) = 0$ верно.

$x = 0, - 4, 4$

Этап 2.8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Этап 2.9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Проверим значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 2.9.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

${(- 6)}^{4} - 16 {(- 6)}^{2} \geq 0$

Этап 2.9.1.3

Левая часть $720$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.9.2

Проверим значение на интервале $- 4 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Выберем значение на интервале $- 4 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 2.9.2.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

${(- 2)}^{4} - 16 {(- 2)}^{2} \geq 0$

Этап 2.9.2.3

Левая часть $- 48$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 2.9.3

Проверим значение на интервале $0 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.3.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 2.9.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

${(2)}^{4} - 16 {(2)}^{2} \geq 0$

Этап 2.9.3.3

Левая часть $- 48$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 2.9.4

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 2.9.4.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

${(6)}^{4} - 16 {(6)}^{2} \geq 0$

Этап 2.9.4.3

Левая часть $720$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.9.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 4$ Истина

$- 4 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 4$ Ложь

$x > 4$ Истина

$x < - 4$ Истина

$- 4 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 4$ Ложь

$x > 4$ Истина

Этап 2.10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 4$ или $x \geq 4$ или $x = 0$

Этап 2.11

Объединим интервалы.

$x \leq - 4 or x = 0 or x \geq 4$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 4] \cup [0, 0] \cup [4, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq - 4, x \geq 4, x = 0}$

Этап 4

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y \geq 0}$

Этап 5

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $(- \infty, - 4] \cup [0, 0] \cup [4, \infty), {x | x \leq - 4, x \geq 4, x = 0}$

Диапазон: $[0, \infty), {y | y \geq 0}$

Этап 6