Основы мат. анализа Примеры

$- 2 + 8 i$

Этап 1

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 2

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 3

Подставим фактические значения $a = - 2$ и $b = 8$ .

$| z | = \sqrt{8^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Этап 4

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{64 + {(- 2)}^{2}}$

Этап 4.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{64 + 4}$

Этап 4.3

Добавим $64$ и $4$ .

$| z | = \sqrt{68}$

Этап 4.4

Перепишем $68$ в виде $2^{2} \cdot 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $4$ из $68$ .

$| z | = \sqrt{4 (17)}$

Этап 4.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2} \cdot 17}$

Этап 4.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$| z | = 2 \sqrt{17}$

Этап 5

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{8}{- 2})$

Этап 6

Поскольку обратный тангенс $\frac{8}{- 2}$ дает угол во втором квадранте, значение угла равно $1.81577498$ .

$θ = 1.81577498$

Этап 7

Подставим значения $θ = 1.81577498$ и $| z | = 2 \sqrt{17}$ .

$2 \sqrt{17} (\cos (1.81577498) + i \sin (1.81577498))$