Основы мат. анализа Примеры

$- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}$

Этап 1

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 2

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 3

Подставим фактические значения $a = - 2 \sqrt{2}$ и $b = 2 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{2}}$

Этап 4

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим правило умножения к $2 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{2}}$

Этап 4.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{2}}$

Этап 4.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{2}}$

Этап 4.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{2}}$

Этап 4.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$| z | = \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- 2 \sqrt{2})}^{2}}$

Этап 4.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$| z | = \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- 2 \sqrt{2})}^{2}}$

Этап 4.2.4.2

Перепишем это выражение.

$| z | = \sqrt{4 \cdot 2 + {(- 2 \sqrt{2})}^{2}}$

Этап 4.2.5

Найдем экспоненту.

$| z | = \sqrt{4 \cdot 2 + {(- 2 \sqrt{2})}^{2}}$

Этап 4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $4$ на $2$ .

$| z | = \sqrt{8 + {(- 2 \sqrt{2})}^{2}}$

Этап 4.3.2

Применим правило умножения к $- 2 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{8 + {(- 2)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 4.3.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{8 + 4 {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 4.4

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{8 + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{8 + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$| z | = \sqrt{8 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.4.1

Сократим общий множитель.

$| z | = \sqrt{8 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.4.4.2

Перепишем это выражение.

$| z | = \sqrt{8 + 4 \cdot 2}$

Этап 4.4.5

Найдем экспоненту.

$| z | = \sqrt{8 + 4 \cdot 2}$

Этап 4.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $4$ на $2$ .

$| z | = \sqrt{8 + 8}$

Этап 4.5.2

Добавим $8$ и $8$ .

$| z | = \sqrt{16}$

Этап 4.5.3

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$| z | = \sqrt{4^{2}}$

Этап 4.5.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = 4$

Этап 5

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{2 \sqrt{2}}{- 2 \sqrt{2}})$

Этап 6

Поскольку обратный тангенс $\frac{2 \sqrt{2}}{- 2 \sqrt{2}}$ дает угол во втором квадранте, значение угла равно $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Этап 7

Подставим значения $θ = \frac{3 π}{4}$ и $| z | = 4$ .

$4 (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$