Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 2 x^{2} - 4 x - 1$

Этап 1

Запишем $f (x) = 2 x^{2} - 4 x - 1$ в виде уравнения.

$y = 2 x^{2} - 4 x - 1$

Этап 2

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим полный квадрат для $2 x^{2} - 4 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 2$

$b = - 4$

$c = - 1$

Этап 2.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 2}$

Этап 2.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 2}$

Этап 2.1.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (2)}$

Этап 2.1.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 2}$

Этап 2.1.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 2}{2}$

Этап 2.1.3.2.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2}$

Этап 2.1.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Этап 2.1.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Этап 2.1.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 1}{1}$

Этап 2.1.3.2.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$d = - 1$

Этап 2.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 1 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 2}$

Этап 2.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.1

Сократим общий множитель ${(- 4)}^{2}$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.1.1

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$e = - 1 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 2}$

Этап 2.1.4.2.1.1.2

Применим правило умножения к $- 1 (4)$ .

$e = - 1 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 2}$

Этап 2.1.4.2.1.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$e = - 1 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 2}$

Этап 2.1.4.2.1.1.4

Умножим $4^{2}$ на $1$ .

$e = - 1 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 2}$

Этап 2.1.4.2.1.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4^{2}$ .

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 2}$

Этап 2.1.4.2.1.1.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 2$ .

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 (2)}$

Этап 2.1.4.2.1.1.6.2

Сократим общий множитель.

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 2}$

Этап 2.1.4.2.1.1.6.3

Перепишем это выражение.

$e = - 1 - \frac{4}{2}$

Этап 2.1.4.2.1.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$e = - 1 - \frac{2 \cdot 2}{2}$

Этап 2.1.4.2.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$e = - 1 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Этап 2.1.4.2.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$e = - 1 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 2.1.4.2.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$e = - 1 - \frac{2}{1}$

Этап 2.1.4.2.1.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$e = - 1 - 1 \cdot 2$

Этап 2.1.4.2.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$e = - 1 - 2$

Этап 2.1.4.2.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$e = - 3$

Этап 2.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $2 {(x - 1)}^{2} - 3$ .

$2 {(x - 1)}^{2} - 3$

Этап 2.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = 2 {(x - 1)}^{2} - 3$

Этап 3

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 2$

$h = 1$

$k = - 3$

Этап 4

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 5

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(1, - 3)$

Этап 6

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 6.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

Этап 6.3

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{1}{8}$

Этап 7

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(1, - \frac{23}{8})$

Этап 8

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = 1$

Этап 9