Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 6 x^{2} + 12 x - 1$

Этап 1

Запишем $f (x) = 6 x^{2} + 12 x - 1$ в виде уравнения.

$y = 6 x^{2} + 12 x - 1$

Этап 2

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим полный квадрат для $6 x^{2} + 12 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 6$

$b = 12$

$c = - 1$

Этап 2.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{12}{2 \cdot 6}$

Этап 2.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1

Сократим общий множитель $12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 6}$

Этап 2.1.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 6$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (6)}$

Этап 2.1.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 6}$

Этап 2.1.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{6}{6}$

Этап 2.1.3.2.2

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{6}{6}$

Этап 2.1.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$d = 1$

Этап 2.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 1 - \frac{12^{2}}{4 \cdot 6}$

Этап 2.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$e = - 1 - \frac{144}{4 \cdot 6}$

Этап 2.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $6$ .

$e = - 1 - \frac{144}{24}$

Этап 2.1.4.2.1.3

Разделим $144$ на $24$ .

$e = - 1 - 1 \cdot 6$

Этап 2.1.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $6$ .

$e = - 1 - 6$

Этап 2.1.4.2.2

Вычтем $6$ из $- 1$ .

$e = - 7$

Этап 2.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $6 {(x + 1)}^{2} - 7$ .

$6 {(x + 1)}^{2} - 7$

Этап 2.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = 6 {(x + 1)}^{2} - 7$

Этап 3

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 6$

$h = - 1$

$k = - 7$

Этап 4

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 5

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- 1, - 7)$

Этап 6

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 6.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 6}$

Этап 6.3

Умножим $4$ на $6$ .

$\frac{1}{24}$

Этап 7

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 1, - \frac{167}{24})$

Этап 8

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = - 1$

Этап 9