Основы мат. анализа Примеры

$\sum_{k = 1}^{4} k^{2}$

Этап 1

Формула суммирования многочлена степени $2$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Этап 2

Подставим значения в формулу.

$\frac{4 (4 + 1) (2 \cdot 4 + 1)}{6}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $4$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 (4 + 1) (2 \cdot 4 + 1)$ .

$\frac{2 (2 (4 + 1) (2 \cdot 4 + 1))}{6}$

Этап 3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 (2 (4 + 1) (2 \cdot 4 + 1))}{2 (3)}$

Этап 3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 (4 + 1) (2 \cdot 4 + 1))}{2 \cdot 3}$

Этап 3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 (4 + 1) (2 \cdot 4 + 1)}{3}$

Этап 3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{2 (4 + 1) (8 + 1)}{3}$

Этап 3.2.2

Добавим $4$ и $1$ .

$\frac{2 \cdot 5 (8 + 1)}{3}$

Этап 3.2.3

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{10 (8 + 1)}{3}$

Этап 3.2.4

Добавим $8$ и $1$ .

$\frac{10 \cdot 9}{3}$

Этап 3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $10$ на $9$ .

$\frac{90}{3}$

Этап 3.3.2

Разделим $90$ на $3$ .

$30$