Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{x}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{1}{y}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{y} = x$ .

$\frac{1}{y} = x$

Этап 2.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, 1$

Этап 2.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y$

Этап 2.3

Каждый член в $\frac{1}{y} = x$ умножим на $y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{y} = x$ на $y$ .

$\frac{1}{y} y = x y$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} y = x y$

Этап 2.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = x y$

Этап 2.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем уравнение в виде $x y = 1$ .

$x y = 1$

Этап 2.4.2

Разделим каждый член $x y = 1$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Разделим каждый член $x y = 1$ на $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{1}{x}$

Этап 2.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y}{x} = \frac{1}{x}$

Этап 2.4.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{1}{x}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x}$ обратной к $f (x) = \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{1}{x})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Этап 4.2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{1}{x}) = 1 x$

Этап 4.2.4

Умножим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x}) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{1}{x})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{1}{x}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Этап 4.3.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{1}{x}) = 1 x$

Этап 4.3.4

Умножим $x$ на $1$ .

$f (\frac{1}{x}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x}$ — обратная к $f (x) = \frac{1}{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x}$