Основы мат. анализа Примеры

$\sum_{i = 1}^{\infty} 12 {(- 0.7)}^{i - 1}$

Этап 1

Сумму бесконечного геометрического ряда можно найти по формуле $\frac{a}{1 - r}$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Этап 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $a_{i}$ и $a_{i + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{12 {(- 0.7)}^{i + 1 - 1}}{12 {(- 0.7)}^{i - 1}}$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$r = \frac{12 {(- 0.7)}^{i + 1 - 1}}{12 {(- 0.7)}^{i - 1}}$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$r = \frac{{(- 0.7)}^{i + 1 - 1}}{{(- 0.7)}^{i - 1}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель ${(- 0.7)}^{i + 1 - 1}$ и ${(- 0.7)}^{i - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель ${(- 0.7)}^{i - 1}$ из ${(- 0.7)}^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- 0.7)}^{i - 1} {(- 0.7)}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(- 0.7)}^{i - 1}}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Умножим на $1$ .

$r = \frac{{(- 0.7)}^{i - 1} {(- 0.7)}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(- 0.7)}^{i - 1} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \frac{{(- 0.7)}^{i - 1} {(- 0.7)}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(- 0.7)}^{i - 1} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \frac{{(- 0.7)}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Этап 2.2.2.2.4

Разделим ${(- 0.7)}^{i + 0 - (i - 1)}$ на $1$ .

$r = {(- 0.7)}^{i + 0 - (i - 1)}$

Этап 2.2.3

Добавим $i$ и $0$ .

$r = {(- 0.7)}^{i - (i - 1)}$

Этап 2.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$r = {(- 0.7)}^{i - i - - 1}$

Этап 2.2.4.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$r = {(- 0.7)}^{i - i + 1}$

Этап 2.2.5

Вычтем $i$ из $i$ .

$r = {(- 0.7)}^{0 + 1}$

Этап 2.2.6

Добавим $0$ и $1$ .

$r = {(- 0.7)}^{1}$

Этап 2.2.7

Найдем экспоненту.

$r = - 0.7$

Этап 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Этап 4

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $1$ вместо $i$ в $12 {(- 0.7)}^{i - 1}$ .

$a = 12 {(- 0.7)}^{1 - 1}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$a = 12 {(- 0.7)}^{0}$

Этап 4.2.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = 12 \cdot 1$

Этап 4.2.3

Умножим $12$ на $1$ .

$a = 12$

Этап 5

Подставим знаменатель и первый член геометрической прогрессии в формулу суммы.

$\frac{12}{1 + 0.7}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Добавим $1$ и $0.7$ .

$\frac{12}{1.7}$

Этап 6.2

Разделим $12$ на $1.7$ .

$7.05882352$