Основы мат. анализа Примеры

$g (x) = x^{3}$

Этап 1

Запишем $g (x) = x^{3}$ в виде уравнения.

$y = x^{3}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = y^{3}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $y^{3} = x$ .

$y^{3} = x$

Этап 3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{x}$

Этап 4

Replace $y$ with $g^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$g^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x}$

Этап 5

Проверим, является ли $g^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x}$ обратной к $g (x) = x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $g^{- 1} (g (x)) = x$ и $g (g^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $g^{- 1} (g (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$g^{- 1} (g (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $g^{- 1} (x^{3})$ , подставив значение $g$ в $g^{- 1}$ .

$g^{- 1} (x^{3}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Этап 5.2.3

Избавимся от скобок.

$g^{- 1} (x^{3}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Этап 5.2.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$g^{- 1} (x^{3}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $g (g^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$g (g^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $g (\sqrt[3]{x})$ , подставив значение $g^{- 1}$ в $g$ .

$g (\sqrt[3]{x}) = {(\sqrt[3]{x})}^{3}$

Этап 5.3.3

Перепишем ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$g (\sqrt[3]{x}) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Этап 5.3.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (\sqrt[3]{x}) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Этап 5.3.3.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$g (\sqrt[3]{x}) = x^{\frac{3}{3}}$

Этап 5.3.3.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$g (\sqrt[3]{x}) = x^{\frac{3}{3}}$

Этап 5.3.3.4.2

Перепишем это выражение.

$g (\sqrt[3]{x}) = x$

Этап 5.3.3.5

Упростим.

$g (\sqrt[3]{x}) = x$

Этап 5.4

Так как $g^{- 1} (g (x)) = x$ и $g (g^{- 1} (x)) = x$ , то $g^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x}$ — обратная к $g (x) = x^{3}$ .

$g^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x}$