Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} + y = 0$ , $x^{3} - 12 x - y = 0$

Этап 1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$y = - x^{2}$

$x^{3} - 12 x - y = 0$

Этап 2

Заменим все вхождения $y$ на $- x^{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим все вхождения $y$ в $x^{3} - 12 x - y = 0$ на $- x^{2}$ .

$x^{3} - 12 x - (- x^{2}) = 0$

$y = - x^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $- (- x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{3} - 12 x + 1 x^{2} = 0$

$y = - x^{2}$

Этап 2.2.1.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{3} - 12 x + x^{2} = 0$

$y = - x^{2}$

$x^{3} - 12 x + x^{2} = 0$

$y = - x^{2}$

$x^{3} - 12 x + x^{2} = 0$

$y = - x^{2}$

$x^{3} - 12 x + x^{2} = 0$

$y = - x^{2}$

Этап 3

Решим относительно $x$ в $x^{3} - 12 x + x^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - 12 x + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 12 x + x^{2} = 0$

$y = - x^{2}$

Этап 3.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 12 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 12 + x^{2} = 0$

$y = - x^{2}$

Этап 3.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 12 + x \cdot x = 0$

$y = - x^{2}$

Этап 3.1.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x \cdot - 12$ .

$x (x^{2} - 12) + x \cdot x = 0$

$y = - x^{2}$

Этап 3.1.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{2} - 12) + x \cdot x$ .

$x (x^{2} - 12 + x) = 0$

$y = - x^{2}$

$x (x^{2} - 12 + x) = 0$

$y = - x^{2}$

Этап 3.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разложим $x^{2} - 12 + x$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 12$ , а сумма — $1$ .

$- 3, 4$

$y = - x^{2}$

Этап 3.1.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$x ((x - 3) (x + 4)) = 0$

$y = - x^{2}$

$x ((x - 3) (x + 4)) = 0$

$y = - x^{2}$

Этап 3.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x - 3) (x + 4) = 0$

$y = - x^{2}$

$x (x - 3) (x + 4) = 0$

$y = - x^{2}$

$x (x - 3) (x + 4) = 0$

$y = - x^{2}$

Этап 3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

$y = - x^{2}$

Этап 3.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

$y = - x^{2}$

Этап 3.4

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

$y = - x^{2}$

Этап 3.4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

$y = - x^{2}$

$x = 3$

$y = - x^{2}$

Этап 3.5

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

$y = - x^{2}$

Этап 3.5.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

$y = - x^{2}$

$x = - 4$

$y = - x^{2}$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 3) (x + 4) = 0$ верно.

$x = 0, 3, - 4$

$y = - x^{2}$

$x = 0, 3, - 4$

$y = - x^{2}$

Этап 4

Заменим все вхождения $x$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = - x^{2}$ на $0$ .

$y = - {(0)}^{2}$

$x = 0$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $- {(0)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = - 0$

$x = 0$

Этап 4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

Этап 5

Заменим все вхождения $x$ на $3$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = - x^{2}$ на $3$ .

$y = - {(3)}^{2}$

$x = 3$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $- {(3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$y = - 1 \cdot 9$

$x = 3$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 1$ на $9$ .

$y = - 9$

$x = 3$

$y = - 9$

$x = 3$

$y = - 9$

$x = 3$

$y = - 9$

$x = 3$

Этап 6

Заменим все вхождения $x$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = - x^{2}$ на $0$ .

$y = - {(0)}^{2}$

$x = 0$

Этап 6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим $- {(0)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = - 0$

$x = 0$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

Этап 7

Заменим все вхождения $x$ на $3$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = - x^{2}$ на $3$ .

$y = - {(3)}^{2}$

$x = 3$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим $- {(3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$y = - 1 \cdot 9$

$x = 3$

Этап 7.2.1.2

Умножим $- 1$ на $9$ .

$y = - 9$

$x = 3$

$y = - 9$

$x = 3$

$y = - 9$

$x = 3$

$y = - 9$

$x = 3$

Этап 8

Заменим все вхождения $x$ на $- 4$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = - x^{2}$ на $- 4$ .

$y = - {(- 4)}^{2}$

$x = - 4$

Этап 8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим $- {(- 4)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$y = - 1 \cdot 16$

$x = - 4$

Этап 8.2.1.2

Умножим $- 1$ на $16$ .

$y = - 16$

$x = - 4$

$y = - 16$

$x = - 4$

$y = - 16$

$x = - 4$

$y = - 16$

$x = - 4$

Этап 9

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

$(3, - 9)$

$(- 4, - 16)$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

В виде точки:

$(0, 0), (3, - 9), (- 4, - 16)$

Форма уравнения:

$x = 0, y = 0$

$x = 3, y = - 9$

$x = - 4, y = - 16$

Этап 11