Основы мат. анализа Примеры

$256 x^{2} + 16 y^{2} = 4096$ , $y = x^{2} - 16$

Этап 1

Заменим все вхождения $y$ на $x^{2} - 16$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Заменим все вхождения $y$ в $256 x^{2} + 16 y^{2} = 4096$ на $x^{2} - 16$ .

$256 x^{2} + 16 {(x^{2} - 16)}^{2} = 4096$

$y = x^{2} - 16$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим $256 x^{2} + 16 {(x^{2} - 16)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.1

Перепишем ${(x^{2} - 16)}^{2}$ в виде $(x^{2} - 16) (x^{2} - 16)$ .

$256 x^{2} + 16 ((x^{2} - 16) (x^{2} - 16)) = 4096$

$y = x^{2} - 16$

Этап 1.2.1.1.2

Развернем $(x^{2} - 16) (x^{2} - 16)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$256 x^{2} + 16 (x^{2} (x^{2} - 16) - 16 (x^{2} - 16)) = 4096$

$y = x^{2} - 16$

Этап 1.2.1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$256 x^{2} + 16 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16 - 16 (x^{2} - 16)) = 4096$

$y = x^{2} - 16$

Этап 1.2.1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$256 x^{2} + 16 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16 - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) = 4096$

$y = x^{2} - 16$

$256 x^{2} + 16 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16 - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) = 4096$

$y = x^{2} - 16$

Этап 1.2.1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.3.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.3.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$256 x^{2} + 16 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 16 - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) = 4096$

$y = x^{2} - 16$

Этап 1.2.1.1.3.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$256 x^{2} + 16 (x^{4} + x^{2} \cdot - 16 - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) = 4096$

$y = x^{2} - 16$

$256 x^{2} + 16 (x^{4} + x^{2} \cdot - 16 - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) = 4096$

$y = x^{2} - 16$

Этап 1.2.1.1.3.1.2

Перенесем $- 16$ влево от $x^{2}$ .

$256 x^{2} + 16 (x^{4} - 16 \cdot x^{2} - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16) = 4096$

$y = x^{2} - 16$

Этап 1.2.1.1.3.1.3

Умножим $- 16$ на $- 16$ .

$256 x^{2} + 16 (x^{4} - 16 x^{2} - 16 x^{2} + 256) = 4096$

$y = x^{2} - 16$

$256 x^{2} + 16 (x^{4} - 16 x^{2} - 16 x^{2} + 256) = 4096$

$y = x^{2} - 16$

Этап 1.2.1.1.3.2

Вычтем $16 x^{2}$ из $- 16 x^{2}$ .

$256 x^{2} + 16 (x^{4} - 32 x^{2} + 256) = 4096$

$y = x^{2} - 16$

$256 x^{2} + 16 (x^{4} - 32 x^{2} + 256) = 4096$

$y = x^{2} - 16$

Этап 1.2.1.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$256 x^{2} + 16 x^{4} + 16 (- 32 x^{2}) + 16 \cdot 256 = 4096$

$y = x^{2} - 16$

Этап 1.2.1.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.5.1

Умножим $- 32$ на $16$ .

$256 x^{2} + 16 x^{4} - 512 x^{2} + 16 \cdot 256 = 4096$

$y = x^{2} - 16$

Этап 1.2.1.1.5.2

Умножим $16$ на $256$ .

$256 x^{2} + 16 x^{4} - 512 x^{2} + 4096 = 4096$

$y = x^{2} - 16$

$256 x^{2} + 16 x^{4} - 512 x^{2} + 4096 = 4096$

$y = x^{2} - 16$

$256 x^{2} + 16 x^{4} - 512 x^{2} + 4096 = 4096$

$y = x^{2} - 16$

Этап 1.2.1.2

Вычтем $512 x^{2}$ из $256 x^{2}$ .

$16 x^{4} - 256 x^{2} + 4096 = 4096$

$y = x^{2} - 16$

$16 x^{4} - 256 x^{2} + 4096 = 4096$

$y = x^{2} - 16$

$16 x^{4} - 256 x^{2} + 4096 = 4096$

$y = x^{2} - 16$

$16 x^{4} - 256 x^{2} + 4096 = 4096$

$y = x^{2} - 16$

Этап 2

Решим относительно $x$ в $16 x^{4} - 256 x^{2} + 4096 = 4096$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$16 u^{2} - 256 u + 4096 = 4096$

$u = x^{2}$

$y = x^{2} - 16$

Этап 2.2

Вычтем $4096$ из обеих частей уравнения.

$16 u^{2} - 256 u + 4096 - 4096 = 0$

$y = x^{2} - 16$

Этап 2.3

Объединим противоположные члены в $16 u^{2} - 256 u + 4096 - 4096$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вычтем $4096$ из $4096$ .

$16 u^{2} - 256 u + 0 = 0$

$y = x^{2} - 16$

Этап 2.3.2

Добавим $16 u^{2} - 256 u$ и $0$ .

$16 u^{2} - 256 u = 0$

$y = x^{2} - 16$

$16 u^{2} - 256 u = 0$

$y = x^{2} - 16$

Этап 2.4

Вынесем множитель $16 u$ из $16 u^{2} - 256 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вынесем множитель $16 u$ из $16 u^{2}$ .

$16 u (u) - 256 u = 0$

$y = x^{2} - 16$

Этап 2.4.2

Вынесем множитель $16 u$ из $- 256 u$ .

$16 u (u) + 16 u (- 16) = 0$

$y = x^{2} - 16$

Этап 2.4.3

Вынесем множитель $16 u$ из $16 u (u) + 16 u (- 16)$ .

$16 u (u - 16) = 0$

$y = x^{2} - 16$

$16 u (u - 16) = 0$

$y = x^{2} - 16$

Этап 2.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u = 0$

$u - 16 = 0$

$y = x^{2} - 16$

Этап 2.6

Приравняем $u$ к $0$ .

$u = 0$

$y = x^{2} - 16$

Этап 2.7

Приравняем $u - 16$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Приравняем $u - 16$ к $0$ .

$u - 16 = 0$

$y = x^{2} - 16$

Этап 2.7.2

Добавим $16$ к обеим частям уравнения.

$u = 16$

$y = x^{2} - 16$

$u = 16$

$y = x^{2} - 16$

Этап 2.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $16 u (u - 16) = 0$ верно.

$u = 0, 16$

$y = x^{2} - 16$

Этап 2.9

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = 0$

$x^{2} = 16$

$y = x^{2} - 16$

Этап 2.10

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = 0$

$y = x^{2} - 16$

Этап 2.11

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

$y = x^{2} - 16$

Этап 2.11.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

$y = x^{2} - 16$

Этап 2.11.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

$y = x^{2} - 16$

Этап 2.11.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

$y = x^{2} - 16$

$x = 0$

$y = x^{2} - 16$

$x = 0$

$y = x^{2} - 16$

Этап 2.12

Решим второе уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = 16$

$y = x^{2} - 16$

Этап 2.13

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = 16$

$y = x^{2} - 16$

Этап 2.13.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

$y = x^{2} - 16$

Этап 2.13.3

Упростим $\pm \sqrt{16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.3.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

$y = x^{2} - 16$

Этап 2.13.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 4$

$y = x^{2} - 16$

$x = \pm 4$

$y = x^{2} - 16$

Этап 2.13.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 4$

$y = x^{2} - 16$

Этап 2.13.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 4$

$y = x^{2} - 16$

Этап 2.13.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 4, - 4$

$y = x^{2} - 16$

$x = 4, - 4$

$y = x^{2} - 16$

$x = 4, - 4$

$y = x^{2} - 16$

Этап 2.14

Решением $16 x^{4} - 256 x^{2} + 4096 = 4096$ является $x = 0, 4, - 4$ .

$x = 0, 4, - 4$

$y = x^{2} - 16$

$x = 0, 4, - 4$

$y = x^{2} - 16$

Этап 3

Заменим все вхождения $x$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = x^{2} - 16$ на $0$ .

$y = {(0)}^{2} - 16$

$x = 0$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${(0)}^{2} - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 - 16$

$x = 0$

Этап 3.2.1.2

Вычтем $16$ из $0$ .

$y = - 16$

$x = 0$

$y = - 16$

$x = 0$

$y = - 16$

$x = 0$

$y = - 16$

$x = 0$

Этап 4

Заменим все вхождения $x$ на $4$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = x^{2} - 16$ на $4$ .

$y = {(4)}^{2} - 16$

$x = 4$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим ${(4)}^{2} - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$y = 16 - 16$

$x = 4$

Этап 4.2.1.2

Вычтем $16$ из $16$ .

$y = 0$

$x = 4$

$y = 0$

$x = 4$

$y = 0$

$x = 4$

$y = 0$

$x = 4$

Этап 5

Заменим все вхождения $x$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = x^{2} - 16$ на $0$ .

$y = {(0)}^{2} - 16$

$x = 0$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим ${(0)}^{2} - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 - 16$

$x = 0$

Этап 5.2.1.2

Вычтем $16$ из $0$ .

$y = - 16$

$x = 0$

$y = - 16$

$x = 0$

$y = - 16$

$x = 0$

$y = - 16$

$x = 0$

Этап 6

Заменим все вхождения $x$ на $4$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = x^{2} - 16$ на $4$ .

$y = {(4)}^{2} - 16$

$x = 4$

Этап 6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим ${(4)}^{2} - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$y = 16 - 16$

$x = 4$

Этап 6.2.1.2

Вычтем $16$ из $16$ .

$y = 0$

$x = 4$

$y = 0$

$x = 4$

$y = 0$

$x = 4$

$y = 0$

$x = 4$

Этап 7

Заменим все вхождения $x$ на $- 4$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = x^{2} - 16$ на $- 4$ .

$y = {(- 4)}^{2} - 16$

$x = - 4$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим ${(- 4)}^{2} - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$y = 16 - 16$

$x = - 4$

Этап 7.2.1.2

Вычтем $16$ из $16$ .

$y = 0$

$x = - 4$

$y = 0$

$x = - 4$

$y = 0$

$x = - 4$

$y = 0$

$x = - 4$

Этап 8

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, - 16)$

$(4, 0)$

$(- 4, 0)$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

В виде точки:

$(0, - 16), (4, 0), (- 4, 0)$

Форма уравнения:

$x = 0, y = - 16$

$x = 4, y = 0$

$x = - 4, y = 0$

Этап 10