Основы мат. анализа Примеры

$x - 2 y + z = 1$ , $y + 2 z = 5$ , $x + y + 3 z = 8$

Этап 1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $2 y$ к обеим частям уравнения.

$x + z = 1 + 2 y$

$y + 2 z = 5$

$x + y + 3 z = 8$

Этап 1.2

Вычтем $z$ из обеих частей уравнения.

$x = 1 + 2 y - z$

$y + 2 z = 5$

$x + y + 3 z = 8$

$x = 1 + 2 y - z$

$y + 2 z = 5$

$x + y + 3 z = 8$

Этап 2

Заменим все вхождения $x$ на $1 + 2 y - z$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим все вхождения $x$ в $x + y + 3 z = 8$ на $1 + 2 y - z$ .

$(1 + 2 y - z) + y + 3 z = 8$

$x = 1 + 2 y - z$

$y + 2 z = 5$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим $(1 + 2 y - z) + y + 3 z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Добавим $2 y$ и $y$ .

$1 + 3 y - z + 3 z = 8$

$x = 1 + 2 y - z$

$y + 2 z = 5$

Этап 2.2.1.2

Добавим $- z$ и $3 z$ .

$1 + 3 y + 2 z = 8$

$x = 1 + 2 y - z$

$y + 2 z = 5$

$1 + 3 y + 2 z = 8$

$x = 1 + 2 y - z$

$y + 2 z = 5$

$1 + 3 y + 2 z = 8$

$x = 1 + 2 y - z$

$y + 2 z = 5$

$1 + 3 y + 2 z = 8$

$x = 1 + 2 y - z$

$y + 2 z = 5$

Этап 3

Вычтем $2 z$ из обеих частей уравнения.

$y = 5 - 2 z$

$1 + 3 y + 2 z = 8$

$x = 1 + 2 y - z$

Этап 4

Заменим все вхождения $y$ на $5 - 2 z$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим все вхождения $y$ в $1 + 3 y + 2 z = 8$ на $5 - 2 z$ .

$1 + 3 (5 - 2 z) + 2 z = 8$

$y = 5 - 2 z$

$x = 1 + 2 y - z$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $1 + 3 (5 - 2 z) + 2 z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 + 3 \cdot 5 + 3 (- 2 z) + 2 z = 8$

$y = 5 - 2 z$

$x = 1 + 2 y - z$

Этап 4.2.1.1.2

Умножим $3$ на $5$ .

$1 + 15 + 3 (- 2 z) + 2 z = 8$

$y = 5 - 2 z$

$x = 1 + 2 y - z$

Этап 4.2.1.1.3

Умножим $- 2$ на $3$ .

$1 + 15 - 6 z + 2 z = 8$

$y = 5 - 2 z$

$x = 1 + 2 y - z$

$1 + 15 - 6 z + 2 z = 8$

$y = 5 - 2 z$

$x = 1 + 2 y - z$

Этап 4.2.1.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Добавим $1$ и $15$ .

$16 - 6 z + 2 z = 8$

$y = 5 - 2 z$

$x = 1 + 2 y - z$

Этап 4.2.1.2.2

Добавим $- 6 z$ и $2 z$ .

$16 - 4 z = 8$

$y = 5 - 2 z$

$x = 1 + 2 y - z$

$16 - 4 z = 8$

$y = 5 - 2 z$

$x = 1 + 2 y - z$

$16 - 4 z = 8$

$y = 5 - 2 z$

$x = 1 + 2 y - z$

$16 - 4 z = 8$

$y = 5 - 2 z$

$x = 1 + 2 y - z$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $y$ в $x = 1 + 2 y - z$ на $5 - 2 z$ .

$x = 1 + 2 (5 - 2 z) - z$

$16 - 4 z = 8$

$y = 5 - 2 z$

Этап 4.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Упростим $1 + 2 (5 - 2 z) - z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = 1 + 2 \cdot 5 + 2 (- 2 z) - z$

$16 - 4 z = 8$

$y = 5 - 2 z$

Этап 4.4.1.1.2

Умножим $2$ на $5$ .

$x = 1 + 10 + 2 (- 2 z) - z$

$16 - 4 z = 8$

$y = 5 - 2 z$

Этап 4.4.1.1.3

Умножим $- 2$ на $2$ .

$x = 1 + 10 - 4 z - z$

$16 - 4 z = 8$

$y = 5 - 2 z$

$x = 1 + 10 - 4 z - z$

$16 - 4 z = 8$

$y = 5 - 2 z$

Этап 4.4.1.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.2.1

Добавим $1$ и $10$ .

$x = 11 - 4 z - z$

$16 - 4 z = 8$

$y = 5 - 2 z$

Этап 4.4.1.2.2

Вычтем $z$ из $- 4 z$ .

$x = 11 - 5 z$

$16 - 4 z = 8$

$y = 5 - 2 z$

$x = 11 - 5 z$

$16 - 4 z = 8$

$y = 5 - 2 z$

$x = 11 - 5 z$

$16 - 4 z = 8$

$y = 5 - 2 z$

$x = 11 - 5 z$

$16 - 4 z = 8$

$y = 5 - 2 z$

$x = 11 - 5 z$

$16 - 4 z = 8$

$y = 5 - 2 z$

Этап 5

Решим относительно $z$ в $16 - 4 z = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $z$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$- 4 z = 8 - 16$

$x = 11 - 5 z$

$y = 5 - 2 z$

Этап 5.1.2

Вычтем $16$ из $8$ .

$- 4 z = - 8$

$x = 11 - 5 z$

$y = 5 - 2 z$

$- 4 z = - 8$

$x = 11 - 5 z$

$y = 5 - 2 z$

Этап 5.2

Разделим каждый член $- 4 z = - 8$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $- 4 z = - 8$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 z}{- 4} = \frac{- 8}{- 4}$

$x = 11 - 5 z$

$y = 5 - 2 z$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 z}{- 4} = \frac{- 8}{- 4}$

$x = 11 - 5 z$

$y = 5 - 2 z$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $z$ на $1$ .

$z = \frac{- 8}{- 4}$

$x = 11 - 5 z$

$y = 5 - 2 z$

$z = \frac{- 8}{- 4}$

$x = 11 - 5 z$

$y = 5 - 2 z$

$z = \frac{- 8}{- 4}$

$x = 11 - 5 z$

$y = 5 - 2 z$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Разделим $- 8$ на $- 4$ .

$z = 2$

$x = 11 - 5 z$

$y = 5 - 2 z$

$z = 2$

$x = 11 - 5 z$

$y = 5 - 2 z$

$z = 2$

$x = 11 - 5 z$

$y = 5 - 2 z$

$z = 2$

$x = 11 - 5 z$

$y = 5 - 2 z$

Этап 6

Заменим все вхождения $z$ на $2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим все вхождения $z$ в $x = 11 - 5 z$ на $2$ .

$x = 11 - 5 \cdot 2$

$z = 2$

$y = 5 - 2 z$

Этап 6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим $11 - 5 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $- 5$ на $2$ .

$x = 11 - 10$

$z = 2$

$y = 5 - 2 z$

Этап 6.2.1.2

Вычтем $10$ из $11$ .

$x = 1$

$z = 2$

$y = 5 - 2 z$

$x = 1$

$z = 2$

$y = 5 - 2 z$

$x = 1$

$z = 2$

$y = 5 - 2 z$

Этап 6.3

Заменим все вхождения $z$ в $y = 5 - 2 z$ на $2$ .

$y = 5 - 2 \cdot 2$

$x = 1$

$z = 2$

Этап 6.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Упростим $5 - 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$y = 5 - 4$

$x = 1$

$z = 2$

Этап 6.4.1.2

Вычтем $4$ из $5$ .

$y = 1$

$x = 1$

$z = 2$

$y = 1$

$x = 1$

$z = 2$

$y = 1$

$x = 1$

$z = 2$

$y = 1$

$x = 1$

$z = 2$

Этап 7

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(1, 1, 2)$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

В виде точки:

$(1, 1, 2)$

Форма уравнения:

$x = 1, y = 1, z = 2$