Основы мат. анализа Примеры

$x + y + 4 z = 1$ , $3 x + 2 y + 11 z = 1$ , $x + 3 z = - 1$

Этап 1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$x + 4 z = 1 - y$

$3 x + 2 y + 11 z = 1$

$x + 3 z = - 1$

Этап 1.2

Вычтем $4 z$ из обеих частей уравнения.

$x = 1 - y - 4 z$

$3 x + 2 y + 11 z = 1$

$x + 3 z = - 1$

$x = 1 - y - 4 z$

$3 x + 2 y + 11 z = 1$

$x + 3 z = - 1$

Этап 2

Заменим все вхождения $x$ на $1 - y - 4 z$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим все вхождения $x$ в $3 x + 2 y + 11 z = 1$ на $1 - y - 4 z$ .

$3 (1 - y - 4 z) + 2 y + 11 z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

$x + 3 z = - 1$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим $3 (1 - y - 4 z) + 2 y + 11 z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \cdot 1 + 3 (- y) + 3 (- 4 z) + 2 y + 11 z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

$x + 3 z = - 1$

Этап 2.2.1.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + 3 (- y) + 3 (- 4 z) + 2 y + 11 z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

$x + 3 z = - 1$

Этап 2.2.1.1.2.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$3 - 3 y + 3 (- 4 z) + 2 y + 11 z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

$x + 3 z = - 1$

Этап 2.2.1.1.2.3

Умножим $- 4$ на $3$ .

$3 - 3 y - 12 z + 2 y + 11 z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

$x + 3 z = - 1$

$3 - 3 y - 12 z + 2 y + 11 z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

$x + 3 z = - 1$

$3 - 3 y - 12 z + 2 y + 11 z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

$x + 3 z = - 1$

Этап 2.2.1.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Добавим $- 3 y$ и $2 y$ .

$3 - y - 12 z + 11 z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

$x + 3 z = - 1$

Этап 2.2.1.2.2

Добавим $- 12 z$ и $11 z$ .

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

$x + 3 z = - 1$

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

$x + 3 z = - 1$

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

$x + 3 z = - 1$

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

$x + 3 z = - 1$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $x$ в $x + 3 z = - 1$ на $1 - y - 4 z$ .

$(1 - y - 4 z) + 3 z = - 1$

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

Этап 2.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $- 4 z$ и $3 z$ .

$1 - y - z = - 1$

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

$1 - y - z = - 1$

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

$1 - y - z = - 1$

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

Этап 3

Решим относительно $y$ в $1 - y - z = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- y - z = - 1 - 1$

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

Этап 3.1.2

Добавим $z$ к обеим частям уравнения.

$- y = - 1 - 1 + z$

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

Этап 3.1.3

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$- y = - 2 + z$

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

$- y = - 2 + z$

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

Этап 3.2

Разделим каждый член $- y = - 2 + z$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $- y = - 2 + z$ на $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- 2}{- 1} + \frac{z}{- 1}$

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} = \frac{- 2}{- 1} + \frac{z}{- 1}$

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

Этап 3.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 2}{- 1} + \frac{z}{- 1}$

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

$y = \frac{- 2}{- 1} + \frac{z}{- 1}$

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$y = 2 + \frac{z}{- 1}$

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

Этап 3.2.3.1.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{z}{- 1}$ .

$y = 2 - 1 \cdot z$

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

Этап 3.2.3.1.3

Перепишем $- 1 \cdot z$ в виде $- z$ .

$y = 2 - z$

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

$y = 2 - z$

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

$y = 2 - z$

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

$y = 2 - z$

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

$y = 2 - z$

$3 - y - z = 1$

$x = 1 - y - 4 z$

Этап 4

Заменим все вхождения $y$ на $2 - z$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим все вхождения $y$ в $3 - y - z = 1$ на $2 - z$ .

$3 - (2 - z) - z = 1$

$y = 2 - z$

$x = 1 - y - 4 z$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $3 - (2 - z) - z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 - 1 \cdot 2 + z - z = 1$

$y = 2 - z$

$x = 1 - y - 4 z$

Этап 4.2.1.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3 - 2 + z - z = 1$

$y = 2 - z$

$x = 1 - y - 4 z$

Этап 4.2.1.1.3

Умножим $- - z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$3 - 2 + 1 z - z = 1$

$y = 2 - z$

$x = 1 - y - 4 z$

Этап 4.2.1.1.3.2

Умножим $z$ на $1$ .

$3 - 2 + z - z = 1$

$y = 2 - z$

$x = 1 - y - 4 z$

$3 - 2 + z - z = 1$

$y = 2 - z$

$x = 1 - y - 4 z$

$3 - 2 + z - z = 1$

$y = 2 - z$

$x = 1 - y - 4 z$

Этап 4.2.1.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Объединим противоположные члены в $3 - 2 + z - z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1.1

Вычтем $z$ из $z$ .

$3 - 2 + 0 = 1$

$y = 2 - z$

$x = 1 - y - 4 z$

Этап 4.2.1.2.1.2

Добавим $3 - 2$ и $0$ .

$3 - 2 = 1$

$y = 2 - z$

$x = 1 - y - 4 z$

$3 - 2 = 1$

$y = 2 - z$

$x = 1 - y - 4 z$

Этап 4.2.1.2.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$1 = 1$

$y = 2 - z$

$x = 1 - y - 4 z$

$1 = 1$

$y = 2 - z$

$x = 1 - y - 4 z$

$1 = 1$

$y = 2 - z$

$x = 1 - y - 4 z$

$1 = 1$

$y = 2 - z$

$x = 1 - y - 4 z$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $y$ в $x = 1 - y - 4 z$ на $2 - z$ .

$x = 1 - (2 - z) - 4 z$

$1 = 1$

$y = 2 - z$

Этап 4.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Упростим $1 - (2 - z) - 4 z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = 1 - 1 \cdot 2 + z - 4 z$

$1 = 1$

$y = 2 - z$

Этап 4.4.1.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x = 1 - 2 + z - 4 z$

$1 = 1$

$y = 2 - z$

Этап 4.4.1.1.3

Умножим $- - z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1 - 2 + 1 z - 4 z$

$1 = 1$

$y = 2 - z$

Этап 4.4.1.1.3.2

Умножим $z$ на $1$ .

$x = 1 - 2 + z - 4 z$

$1 = 1$

$y = 2 - z$

$x = 1 - 2 + z - 4 z$

$1 = 1$

$y = 2 - z$

$x = 1 - 2 + z - 4 z$

$1 = 1$

$y = 2 - z$

Этап 4.4.1.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.2.1

Вычтем $2$ из $1$ .

$x = - 1 + z - 4 z$

$1 = 1$

$y = 2 - z$

Этап 4.4.1.2.2

Вычтем $4 z$ из $z$ .

$x = - 1 - 3 z$

$1 = 1$

$y = 2 - z$

$x = - 1 - 3 z$

$1 = 1$

$y = 2 - z$

$x = - 1 - 3 z$

$1 = 1$

$y = 2 - z$

$x = - 1 - 3 z$

$1 = 1$

$y = 2 - z$

$x = - 1 - 3 z$

$1 = 1$

$y = 2 - z$

Этап 5

Удалим из системы все уравнения, которые всегда верны.

$x = - 1 - 3 z$

$y = 2 - z$