Основы мат. анализа Примеры

$x y = 9$ , $x^{2} + y^{2} = 82$

Этап 1

Разделим каждый член $x y = 9$ на $y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $x y = 9$ на $y$ .

$\frac{x y}{y} = \frac{9}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 82$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y}{y} = \frac{9}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 82$

Этап 1.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{9}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 82$

$x = \frac{9}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 82$

$x = \frac{9}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 82$

$x = \frac{9}{y}$

$x^{2} + y^{2} = 82$

Этап 2

Заменим все вхождения $x$ на $\frac{9}{y}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим все вхождения $x$ в $x^{2} + y^{2} = 82$ на $\frac{9}{y}$ .

${(\frac{9}{y})}^{2} + y^{2} = 82$

$x = \frac{9}{y}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{9}{y}$ .

$\frac{9^{2}}{y^{2}} + y^{2} = 82$

$x = \frac{9}{y}$

Этап 2.2.1.2

Возведем $9$ в степень $2$ .

$\frac{81}{y^{2}} + y^{2} = 82$

$x = \frac{9}{y}$

$\frac{81}{y^{2}} + y^{2} = 82$

$x = \frac{9}{y}$

$\frac{81}{y^{2}} + y^{2} = 82$

$x = \frac{9}{y}$

$\frac{81}{y^{2}} + y^{2} = 82$

$x = \frac{9}{y}$

Этап 3

Решим относительно $y$ в $\frac{81}{y^{2}} + y^{2} = 82$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y^{2}, 1, 1$

$x = \frac{9}{y}$

Этап 3.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

$y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

Этап 3.2

Каждый член в $\frac{81}{y^{2}} + y^{2} = 82$ умножим на $y^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $\frac{81}{y^{2}} + y^{2} = 82$ на $y^{2}$ .

$\frac{81}{y^{2}} \cdot y^{2} + y^{2} y^{2} = 82 y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{81}{y^{2}} \cdot y^{2} + y^{2} y^{2} = 82 y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

Этап 3.2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$81 + y^{2} y^{2} = 82 y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

$81 + y^{2} y^{2} = 82 y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

Этап 3.2.2.1.2

Умножим $y^{2}$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$81 + y^{2 + 2} = 82 y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

Этап 3.2.2.1.2.2

Добавим $2$ и $2$ .

$81 + y^{4} = 82 y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

$81 + y^{4} = 82 y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

$81 + y^{4} = 82 y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

$81 + y^{4} = 82 y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

$81 + y^{4} = 82 y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вычтем $82 y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$81 + y^{4} - 82 y^{2} = 0$

$x = \frac{9}{y}$

Этап 3.3.2

Подставим $u = y^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$u^{2} - 82 u + 81 = 0$

$u = y^{2}$

$x = \frac{9}{y}$

Этап 3.3.3

Разложим $u^{2} - 82 u + 81$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $81$ , а сумма — $- 82$ .

$- 81, - 1$

$x = \frac{9}{y}$

Этап 3.3.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 81) (u - 1) = 0$

$x = \frac{9}{y}$

$(u - 81) (u - 1) = 0$

$x = \frac{9}{y}$

Этап 3.3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 81 = 0$

$u - 1 = 0$

$x = \frac{9}{y}$

Этап 3.3.5

Приравняем $u - 81$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Приравняем $u - 81$ к $0$ .

$u - 81 = 0$

$x = \frac{9}{y}$

Этап 3.3.5.2

Добавим $81$ к обеим частям уравнения.

$u = 81$

$x = \frac{9}{y}$

$u = 81$

$x = \frac{9}{y}$

Этап 3.3.6

Приравняем $u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Приравняем $u - 1$ к $0$ .

$u - 1 = 0$

$x = \frac{9}{y}$

Этап 3.3.6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$u = 1$

$x = \frac{9}{y}$

$u = 1$

$x = \frac{9}{y}$

Этап 3.3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 81) (u - 1) = 0$ верно.

$u = 81, 1$

$x = \frac{9}{y}$

Этап 3.3.8

Подставим вещественное значение $u = y^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$y^{2} = 81$

$y^{2} = 1$

$x = \frac{9}{y}$

Этап 3.3.9

Решим первое уравнение относительно $y$ .

$y^{2} = 81$

$x = \frac{9}{y}$

Этап 3.3.10

Решим уравнение относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{81}$

$x = \frac{9}{y}$

Этап 3.3.10.2

Упростим $\pm \sqrt{81}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.10.2.1

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{9^{2}}$

$x = \frac{9}{y}$

Этап 3.3.10.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = \pm 9$

$x = \frac{9}{y}$

$y = \pm 9$

$x = \frac{9}{y}$

Этап 3.3.10.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.10.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = 9$

$x = \frac{9}{y}$

Этап 3.3.10.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - 9$

$x = \frac{9}{y}$

Этап 3.3.10.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = 9, - 9$

$x = \frac{9}{y}$

$y = 9, - 9$

$x = \frac{9}{y}$

$y = 9, - 9$

$x = \frac{9}{y}$

Этап 3.3.11

Решим второе уравнение относительно $y$ .

$y^{2} = 1$

$x = \frac{9}{y}$

Этап 3.3.12

Решим уравнение относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.12.1

Избавимся от скобок.

$y^{2} = 1$

$x = \frac{9}{y}$

Этап 3.3.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{1}$

$x = \frac{9}{y}$

Этап 3.3.12.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$y = \pm 1$

$x = \frac{9}{y}$

Этап 3.3.12.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.12.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = 1$

$x = \frac{9}{y}$

Этап 3.3.12.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - 1$

$x = \frac{9}{y}$

Этап 3.3.12.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = 1, - 1$

$x = \frac{9}{y}$

$y = 1, - 1$

$x = \frac{9}{y}$

$y = 1, - 1$

$x = \frac{9}{y}$

Этап 3.3.13

Решением $y^{4} - 82 y^{2} + 81 = 0$ является $y = 9, - 9, 1, - 1$ .

$y = 9, - 9, 1, - 1$

$x = \frac{9}{y}$

$y = 9, - 9, 1, - 1$

$x = \frac{9}{y}$

$y = 9, - 9, 1, - 1$

$x = \frac{9}{y}$

Этап 4

Заменим все вхождения $y$ на $9$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = \frac{9}{y}$ на $9$ .

$x = \frac{9}{9}$

$y = 9$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим $9$ на $9$ .

$x = 1$

$y = 9$

$x = 1$

$y = 9$

$x = 1$

$y = 9$

Этап 5

Заменим все вхождения $y$ на $- 9$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = \frac{9}{y}$ на $- 9$ .

$x = \frac{9}{- 9}$

$y = - 9$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим $9$ на $- 9$ .

$x = - 1$

$y = - 9$

$x = - 1$

$y = - 9$

$x = - 1$

$y = - 9$

Этап 6

Заменим все вхождения $y$ на $9$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = \frac{9}{y}$ на $9$ .

$x = \frac{9}{9}$

$y = 9$

Этап 6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разделим $9$ на $9$ .

$x = 1$

$y = 9$

$x = 1$

$y = 9$

$x = 1$

$y = 9$

Этап 7

Заменим все вхождения $y$ на $- 9$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = \frac{9}{y}$ на $- 9$ .

$x = \frac{9}{- 9}$

$y = - 9$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Разделим $9$ на $- 9$ .

$x = - 1$

$y = - 9$

$x = - 1$

$y = - 9$

$x = - 1$

$y = - 9$

Этап 8

Заменим все вхождения $y$ на $1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = \frac{9}{y}$ на $1$ .

$x = \frac{9}{1}$

$y = 1$

Этап 8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Разделим $9$ на $1$ .

$x = 9$

$y = 1$

$x = 9$

$y = 1$

$x = 9$

$y = 1$

Этап 9

Заменим все вхождения $y$ на $9$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = \frac{9}{y}$ на $9$ .

$x = \frac{9}{9}$

$y = 9$

Этап 9.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Разделим $9$ на $9$ .

$x = 1$

$y = 9$

$x = 1$

$y = 9$

$x = 1$

$y = 9$

Этап 10

Заменим все вхождения $y$ на $- 9$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = \frac{9}{y}$ на $- 9$ .

$x = \frac{9}{- 9}$

$y = - 9$

Этап 10.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Разделим $9$ на $- 9$ .

$x = - 1$

$y = - 9$

$x = - 1$

$y = - 9$

$x = - 1$

$y = - 9$

Этап 11

Заменим все вхождения $y$ на $1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = \frac{9}{y}$ на $1$ .

$x = \frac{9}{1}$

$y = 1$

Этап 11.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Разделим $9$ на $1$ .

$x = 9$

$y = 1$

$x = 9$

$y = 1$

$x = 9$

$y = 1$

Этап 12

Заменим все вхождения $y$ на $- 1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = \frac{9}{y}$ на $- 1$ .

$x = \frac{9}{- 1}$

$y = - 1$

Этап 12.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Разделим $9$ на $- 1$ .

$x = - 9$

$y = - 1$

$x = - 9$

$y = - 1$

$x = - 9$

$y = - 1$

Этап 13

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(1, 9)$

$(- 1, - 9)$

$(9, 1)$

$(- 9, - 1)$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

В виде точки:

$(1, 9), (- 1, - 9), (9, 1), (- 9, - 1)$

Форма уравнения:

$x = 1, y = 9$

$x = - 1, y = - 9$

$x = 9, y = 1$

$x = - 9, y = - 1$

Этап 15