Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 4 x^{3}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = 4 {(x + h)}^{3}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (x + h) = 4 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3})$

Этап 2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 4 x^{3} + 4 (3 x^{2} h) + 4 (3 x h^{2}) + 4 h^{3}$

Этап 2.1.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Умножим $3$ на $4$ .

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 (x^{2} h) + 4 (3 x h^{2}) + 4 h^{3}$

Этап 2.1.2.3.2

Умножим $3$ на $4$ .

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 (x^{2} h) + 12 (x h^{2}) + 4 h^{3}$

Этап 2.1.2.4

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3}$

Этап 2.1.2.5

Окончательный ответ: $4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3}$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3}$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$4 x^{3} + 12 h x^{2} + 12 x h^{2} + 4 h^{3}$

Этап 2.2.2

Перенесем $x$ .

$4 x^{3} + 12 h x^{2} + 12 h^{2} x + 4 h^{3}$

Этап 2.2.3

Перенесем $4 x^{3}$ .

$12 h x^{2} + 12 h^{2} x + 4 h^{3} + 4 x^{3}$

Этап 2.2.4

Перенесем $12 h x^{2}$ .

$12 h^{2} x + 4 h^{3} + 12 h x^{2} + 4 x^{3}$

Этап 2.2.5

Изменим порядок $12 h^{2} x$ и $4 h^{3}$ .

$4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3}$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = 4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3}$

$f (x) = 4 x^{3}$

$f (x + h) = 4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3}$

$f (x) = 4 x^{3}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} - (4 x^{3})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} - 4 x^{3}}{h}$

Этап 4.1.2

Вычтем $4 x^{3}$ из $4 x^{3}$ .

$\frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 0}{h}$

Этап 4.1.3

Добавим $4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2}$ и $0$ .

$\frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2}}{h}$

Этап 4.1.4

Вынесем множитель $4 h$ из $4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Вынесем множитель $4 h$ из $4 h^{3}$ .

$\frac{4 h \cdot h^{2} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2}}{h}$

Этап 4.1.4.2

Вынесем множитель $4 h$ из $12 h^{2} x$ .

$\frac{4 h \cdot h^{2} + 4 h (3 h x) + 12 h x^{2}}{h}$

Этап 4.1.4.3

Вынесем множитель $4 h$ из $12 h x^{2}$ .

$\frac{4 h \cdot h^{2} + 4 h (3 h x) + 4 h (3 x^{2})}{h}$

Этап 4.1.4.4

Вынесем множитель $4 h$ из $4 h \cdot h^{2} + 4 h (3 h x)$ .

$\frac{4 h (h^{2} + 3 h x) + 4 h (3 x^{2})}{h}$

Этап 4.1.4.5

Вынесем множитель $4 h$ из $4 h (h^{2} + 3 h x) + 4 h (3 x^{2})$ .

$\frac{4 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Этап 4.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $4 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$ на $1$ .

$4 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$

Этап 4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 h^{2} + 4 (3 h x) + 4 (3 x^{2})$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $3$ на $4$ .

$4 h^{2} + 12 (h x) + 4 (3 x^{2})$

Этап 4.3.2

Умножим $3$ на $4$ .

$4 h^{2} + 12 (h x) + 12 x^{2}$

Этап 4.4

Перенесем $h$ .

$4 h^{2} + 12 x h + 12 x^{2}$

Этап 4.5

Перенесем $4 h^{2}$ .

$12 x h + 12 x^{2} + 4 h^{2}$

Этап 4.6

Изменим порядок $12 x h$ и $12 x^{2}$ .

$12 x^{2} + 12 x h + 4 h^{2}$

Этап 5