Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{4}{x + 4}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{4}{(x + h) + 4}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = \frac{4}{x + h + 4}$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $\frac{4}{x + h + 4}$ .

$\frac{4}{x + h + 4}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = \frac{4}{x + h + 4}$

$f (x) = \frac{4}{x + 4}$

$f (x + h) = \frac{4}{x + h + 4}$

$f (x) = \frac{4}{x + 4}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{4}{x + h + 4} - (\frac{4}{x + 4})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы записать $\frac{4}{x + h + 4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{\frac{4}{x + h + 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} - \frac{4}{x + 4}}{h}$

Этап 4.1.2

Чтобы записать $- \frac{4}{x + 4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + h + 4}{x + h + 4}$ .

$\frac{\frac{4}{x + h + 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} - \frac{4}{x + 4} \cdot \frac{x + h + 4}{x + h + 4}}{h}$

Этап 4.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + h + 4) (x + 4)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $\frac{4}{x + h + 4}$ на $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{\frac{4 (x + 4)}{(x + h + 4) (x + 4)} - \frac{4}{x + 4} \cdot \frac{x + h + 4}{x + h + 4}}{h}$

Этап 4.1.3.2

Умножим $\frac{4}{x + 4}$ на $\frac{x + h + 4}{x + h + 4}$ .

$\frac{\frac{4 (x + 4)}{(x + h + 4) (x + 4)} - \frac{4 (x + h + 4)}{(x + 4) (x + h + 4)}}{h}$

Этап 4.1.3.3

Изменим порядок множителей в $(x + h + 4) (x + 4)$ .

$\frac{\frac{4 (x + 4)}{(x + 4) (x + h + 4)} - \frac{4 (x + h + 4)}{(x + 4) (x + h + 4)}}{h}$

Этап 4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{4 (x + 4) - 4 (x + h + 4)}{(x + 4) (x + h + 4)}}{h}$

Этап 4.1.5

Перепишем $\frac{4 (x + 4) - 4 (x + h + 4)}{(x + 4) (x + h + 4)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $4 (x + 4) - 4 (x + h + 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 (x + h + 4)$ .

$\frac{\frac{4 (x + 4) + 4 (- (x + h + 4))}{(x + 4) (x + h + 4)}}{h}$

Этап 4.1.5.1.2

Вынесем множитель $4$ из $4 (x + 4) + 4 (- (x + h + 4))$ .

$\frac{\frac{4 (x + 4 - (x + h + 4))}{(x + 4) (x + h + 4)}}{h}$

Этап 4.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{4 (x + 4 - x - h - 1 \cdot 4)}{(x + 4) (x + h + 4)}}{h}$

Этап 4.1.5.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{\frac{4 (x + 4 - x - h - 4)}{(x + 4) (x + h + 4)}}{h}$

Этап 4.1.5.4

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{\frac{4 (0 + 4 - h - 4)}{(x + 4) (x + h + 4)}}{h}$

Этап 4.1.5.5

Добавим $0$ и $4$ .

$\frac{\frac{4 (4 - h - 4)}{(x + 4) (x + h + 4)}}{h}$

Этап 4.1.5.6

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{\frac{4 (- h + 0)}{(x + 4) (x + h + 4)}}{h}$

Этап 4.1.5.7

Добавим $- h$ и $0$ .

$\frac{\frac{4 \cdot - 1 h}{(x + 4) (x + h + 4)}}{h}$

Этап 4.1.5.8

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.8.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{\frac{- (4 h)}{(x + 4) (x + h + 4)}}{h}$

Этап 4.1.5.8.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{- 4 h}{(x + 4) (x + h + 4)}}{h}$

Этап 4.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- \frac{4 h}{(x + 4) (x + h + 4)}}{h}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{4 h}{(x + 4) (x + h + 4)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4 h}{(x + 4) (x + h + 4)}$ в числитель.

$\frac{- 4 h}{(x + 4) (x + h + 4)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $h$ из $- 4 h$ .

$\frac{h \cdot - 4}{(x + 4) (x + h + 4)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{h \cdot - 4}{(x + 4) (x + h + 4)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 4}{(x + 4) (x + h + 4)}$

Этап 4.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{(x + 4) (x + h + 4)}$

Этап 5