Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{(x + h) + 1}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $\frac{1}{x + h + 1}$ .

$\frac{1}{x + h + 1}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{1}{x + h + 1} - (\frac{1}{x + 1})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы записать $\frac{1}{x + h + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{\frac{1}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}}{h}$

Этап 4.1.2

Чтобы записать $- \frac{1}{x + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$\frac{\frac{1}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

Этап 4.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + h + 1) (x + 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $\frac{1}{x + h + 1}$ на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{\frac{x + 1}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

Этап 4.1.3.2

Умножим $\frac{1}{x + 1}$ на $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$\frac{\frac{x + 1}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{x + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.3.3

Изменим порядок множителей в $(x + h + 1) (x + 1)$ .

$\frac{\frac{x + 1}{(x + 1) (x + h + 1)} - \frac{x + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{x + 1 - (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.5

Перепишем $\frac{x + 1 - (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{x + 1 - x - h - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\frac{x + 1 - x - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{\frac{0 + 1 - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.4

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{\frac{1 - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.5

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{\frac{- h + 0}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.5.6

Добавим $- h$ и $0$ .

$\frac{\frac{- h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)}$ в числитель.

$\frac{- h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $h$ из $- h$ .

$\frac{h \cdot - 1}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{h \cdot - 1}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Этап 4.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Этап 5