Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 2 x - 3$

Этап 1

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}$

Этап 2

Применим схему Горнера к $\frac{2 x - 3}{x + 1}$ при $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 1$	$2$	$- 3$

Этап 2.2

Первое число в делимом $(2)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 1$	$2$	$- 3$

	$2$

Этап 2.3

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(- 2)$ под следующим членом делимого $(- 3)$ .

$- 1$	$2$	$- 3$
		$- 2$
	$2$

Этап 2.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$2$	$- 3$
		$- 2$
	$2$	$- 5$

Этап 2.5

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$2 + \frac{- 5}{x + 1}$

Этап 2.6

Упростим частное многочленов.

$2 - \frac{5}{x + 1}$

Этап 3

Поскольку $- 1 < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- 1$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- 1$

Этап 4

Применим схему Горнера к $\frac{2 x - 3}{x + \frac{1}{2}}$ при $x = - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 3$

Этап 4.2

Первое число в делимом $(2)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 3$

	$2$

Этап 4.3

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(- \frac{1}{2})$ и запишем их произведение $(- 1)$ под следующим членом делимого $(- 3)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 3$
		$- 1$
	$2$

Этап 4.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 3$
		$- 1$
	$2$	$- 4$

Этап 4.5

$2 + \frac{- 4}{x + \frac{1}{2}}$

Этап 4.6

Упростим частное многочленов.

$2 - \frac{8}{2 x + 1}$

Этап 5

Поскольку $- \frac{1}{2} < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- \frac{1}{2}$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- \frac{1}{2}$

Этап 6

Применим схему Горнера к $\frac{2 x - 3}{x - 3}$ при $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$3$	$2$	$- 3$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(2)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$3$	$2$	$- 3$

	$2$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(3)$ и запишем их произведение $(6)$ под следующим членом делимого $(- 3)$ .

$3$	$2$	$- 3$
		$6$
	$2$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$3$	$2$	$- 3$
		$6$
	$2$	$3$

Этап 6.5

$2 + \frac{3}{x - 3}$

Этап 7

Поскольку $3 > 0$ и все знаки в нижней строке схемы Горнера являются положительными, $3$ является верхней границей вещественных корней функции.

Верхняя граница: $3$

Этап 8

Применим схему Горнера к $\frac{2 x - 3}{x + 3}$ при $x = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 3$	$2$	$- 3$

Этап 8.2

Первое число в делимом $(2)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 3$	$2$	$- 3$

	$2$

Этап 8.3

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(- 3)$ и запишем их произведение $(- 6)$ под следующим членом делимого $(- 3)$ .

$- 3$	$2$	$- 3$
		$- 6$
	$2$

Этап 8.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 3$	$2$	$- 3$
		$- 6$
	$2$	$- 9$

Этап 8.5

$2 + \frac{- 9}{x + 3}$

Этап 8.6

Упростим частное многочленов.

$2 - \frac{9}{x + 3}$

Этап 9

Поскольку $- 3 < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- 3$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- 3$

Этап 10

Применим схему Горнера к $\frac{2 x - 3}{x - \frac{3}{2}}$ при $x = \frac{3}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$

Этап 10.2

Первое число в делимом $(2)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$

	$2$

Этап 10.3

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(\frac{3}{2})$ и запишем их произведение $(3)$ под следующим членом делимого $(- 3)$ .

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$
		$3$
	$2$

Этап 10.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$
		$3$
	$2$	$0$

Этап 10.5

$2$

Этап 11

Поскольку $\frac{3}{2} > 0$ и все знаки в нижней строке схемы Горнера являются положительными, $\frac{3}{2}$ является верхней границей вещественных корней функции.

Верхняя граница: $\frac{3}{2}$

Этап 12

Применим схему Горнера к $\frac{2 x - 3}{x + \frac{3}{2}}$ при $x = - \frac{3}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- \frac{3}{2}$	$2$	$- 3$

Этап 12.2

Первое число в делимом $(2)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- \frac{3}{2}$	$2$	$- 3$

	$2$

Этап 12.3

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(- \frac{3}{2})$ и запишем их произведение $(- 3)$ под следующим членом делимого $(- 3)$ .

$- \frac{3}{2}$	$2$	$- 3$
		$- 3$
	$2$

Этап 12.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{3}{2}$	$2$	$- 3$
		$- 3$
	$2$	$- 6$

Этап 12.5

$2 + \frac{- 6}{x + \frac{3}{2}}$

Этап 12.6

Упростим частное многочленов.

$2 - \frac{12}{2 x + 3}$

Этап 13

Поскольку $- \frac{3}{2} < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- \frac{3}{2}$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- \frac{3}{2}$

Этап 14

Определим верхнюю и нижнюю границы.

Верхние границы: $3, \frac{3}{2}$

Нижние границы: $- 1, - \frac{1}{2}, - 3, - \frac{3}{2}$

Этап 15