Основы мат. анализа Примеры

$- x^{2} - 3 x + 3$

Этап 1

Квадратичная функция достигает максимума в $x = - \frac{b}{2 a}$ . Если $a$ принимает отрицательные значения, то максимальным значением функции будет $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ входит в $x = - \frac{b}{2 a}$

Этап 2

Найдем значение $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим в значения $a$ и $b$ .

$x = - \frac{- 3}{2 (- 1)}$

Этап 2.2

Избавимся от скобок.

$x = - \frac{- 3}{2 (- 1)}$

Этап 2.3

Упростим $- \frac{- 3}{2 (- 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = - \frac{- 3}{- 2}$

Этап 2.3.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = - \frac{3}{2}$

Этап 3

Найдем значение $f (- \frac{3}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - {(- \frac{3}{2})}^{2} - 3 (- \frac{3}{2}) + 3$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) - 3 (- \frac{3}{2}) + 3$

Этап 3.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})) - 3 (- \frac{3}{2}) + 3$

Этап 3.2.1.2

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Перенесем ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{3^{2}}{2^{2}}) - 3 (- \frac{3}{2}) + 3$

Этап 3.2.1.2.2

Умножим ${(- 1)}^{2}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{3^{2}}{2^{2}})) - 3 (- \frac{3}{2}) + 3$

Этап 3.2.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{3^{2}}{2^{2}}) - 3 (- \frac{3}{2}) + 3$

Этап 3.2.1.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{3} (\frac{3^{2}}{2^{2}}) - 3 (- \frac{3}{2}) + 3$

Этап 3.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{3^{2}}{2^{2}} - 3 (- \frac{3}{2}) + 3$

Этап 3.2.1.4

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{2^{2}} - 3 (- \frac{3}{2}) + 3$

Этап 3.2.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{4} - 3 (- \frac{3}{2}) + 3$

Этап 3.2.1.6

Умножим $- 3 (- \frac{3}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{4} + 3 (\frac{3}{2}) + 3$

Этап 3.2.1.6.2

Объединим $3$ и $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{4} + \frac{3 \cdot 3}{2} + 3$

Этап 3.2.1.6.3

Умножим $3$ на $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{4} + \frac{9}{2} + 3$

Этап 3.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Умножим $\frac{9}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{4} + \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2} + 3$

Этап 3.2.2.2

Умножим $\frac{9}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{4} + \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 3$

Этап 3.2.2.3

Запишем $3$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{4} + \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{1}$

Этап 3.2.2.4

Умножим $\frac{3}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{4} + \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 3.2.2.5

Умножим $\frac{3}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{4} + \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{3 \cdot 4}{4}$

Этап 3.2.2.6

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{4} + \frac{9 \cdot 2}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4}$

Этап 3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 9 + 9 \cdot 2 + 3 \cdot 4}{4}$

Этап 3.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Умножим $9$ на $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 9 + 18 + 3 \cdot 4}{4}$

Этап 3.2.4.2

Умножим $3$ на $4$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 9 + 18 + 12}{4}$

Этап 3.2.5

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Добавим $- 9$ и $18$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9 + 12}{4}$

Этап 3.2.5.2

Добавим $9$ и $12$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{21}{4}$

Этап 3.2.6

Окончательный ответ: $\frac{21}{4}$ .

$\frac{21}{4}$

Этап 4

Используем значения $x$ и $y$ , чтобы найти, где достигается максимум.

$(- \frac{3}{2}, \frac{21}{4})$

Этап 5