Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 8 x - x^{2} - 25$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Изменим порядок $8 x$ и $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 8 x - 25$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $- x^{2} + 8 x - 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 1$

$b = 8$

$c = - 25$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{4}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 4$

Этап 1.2.3.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$d = - 4$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 25 - \frac{8^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$e = - 25 - \frac{64}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$e = - 25 - \frac{64}{- 4}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $64$ на $- 4$ .

$e = - 25 - - 16$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 16$ .

$e = - 25 + 16$

Этап 1.2.4.2.2

Добавим $- 25$ и $16$ .

$e = - 9$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- {(x - 4)}^{2} - 9$ .

$- {(x - 4)}^{2} - 9$

Этап 1.3

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = - {(x - 4)}^{2} - 9$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - 1$

$h = 4$

$k = - 9$

Этап 3

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(4, - 9)$

Этап 4