Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 2 x^{2} - 6 x + 5$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Составим полный квадрат для $2 x^{2} - 6 x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 2$

$b = - 6$

$c = 5$

Этап 1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot 2}$

Этап 1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $- 6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2}$

Этап 1.1.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (2)}$

Этап 1.1.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2}$

Этап 1.1.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 3}{2}$

Этап 1.1.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{3}{2}$

Этап 1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 5 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot 2}$

Этап 1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$e = 5 - \frac{36}{4 \cdot 2}$

Этап 1.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $2$ .

$e = 5 - \frac{36}{8}$

Этап 1.1.4.2.1.3

Сократим общий множитель $36$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $36$ .

$e = 5 - \frac{4 (9)}{8}$

Этап 1.1.4.2.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$e = 5 - \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 2}$

Этап 1.1.4.2.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$e = 5 - \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 2}$

Этап 1.1.4.2.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$e = 5 - \frac{9}{2}$

Этап 1.1.4.2.2

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$e = 5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2}$

Этап 1.1.4.2.3

Объединим $5$ и $\frac{2}{2}$ .

$e = \frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2}$

Этап 1.1.4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{5 \cdot 2 - 9}{2}$

Этап 1.1.4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.5.1

Умножим $5$ на $2$ .

$e = \frac{10 - 9}{2}$

Этап 1.1.4.2.5.2

Вычтем $9$ из $10$ .

$e = \frac{1}{2}$

Этап 1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $2 {(x - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{1}{2}$ .

$2 {(x - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{1}{2}$

Этап 1.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = 2 {(x - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{1}{2}$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 2$

$h = \frac{3}{2}$

$k = \frac{1}{2}$

Этап 3

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$

Этап 4