Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{1}{4} x^{2} - 2 x - 12$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} - 2 x - 12$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $\frac{x^{2}}{4} - 2 x - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = - 2$

$c = - 12$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 (\frac{1}{4})}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{4})}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{4})}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 1}{\frac{1}{4}}$

Этап 1.2.3.2.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = - 1 \cdot 4$

Этап 1.2.3.2.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$d = - 4$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 12 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$e = - 12 - \frac{4}{4 (\frac{1}{4})}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{4}$ .

$e = - 12 - \frac{4}{\frac{4}{4}}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $4$ на $4$ .

$e = - 12 - \frac{4}{1}$

Этап 1.2.4.2.1.4

Разделим $4$ на $1$ .

$e = - 12 - 1 \cdot 4$

Этап 1.2.4.2.1.5

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = - 12 - 4$

Этап 1.2.4.2.2

Вычтем $4$ из $- 12$ .

$e = - 16$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $\frac{1}{4} {(x - 4)}^{2} - 16$ .

$\frac{1}{4} {(x - 4)}^{2} - 16$

Этап 1.3

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = \frac{1}{4} \cdot {(x - 4)}^{2} - 16$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = 4$

$k = - 16$

Этап 3

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(4, - 16)$

Этап 4