Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{2} + x + \frac{5}{4}$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Составим полный квадрат для $x^{2} + x + \frac{5}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = 1$

$c = \frac{5}{4}$

Этап 1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.2

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$d = \frac{1}{2}$

Этап 1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{5}{4} - \frac{1^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$e = \frac{5}{4} - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 1.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = \frac{5}{4} - \frac{1}{4}$

Этап 1.1.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{5 - 1}{4}$

Этап 1.1.4.2.3

Вычтем $1$ из $5$ .

$e = \frac{4}{4}$

Этап 1.1.4.2.4

Разделим $4$ на $4$ .

$e = 1$

Этап 1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 1$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 1$

Этап 1.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = {(x + \frac{1}{2})}^{2} + 1$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 1$

$h = - \frac{1}{2}$

$k = 1$

Этап 3

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- \frac{1}{2}, 1)$

Этап 4