Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 7 + 3 x - x^{2}$

Этап 1

Квадратичная функция достигает максимума в $x = - \frac{b}{2 a}$ . Если $a$ принимает отрицательные значения, то максимальным значением функции будет $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ входит в $x = - \frac{b}{2 a}$

Этап 2

Найдем значение $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим в значения $a$ и $b$ .

$x = - \frac{3}{2 (- 1)}$

Этап 2.2

Избавимся от скобок.

$x = - \frac{3}{2 (- 1)}$

Этап 2.3

Упростим $- \frac{3}{2 (- 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = - \frac{3}{- 2}$

Этап 2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - - \frac{3}{2}$

Этап 2.3.3

Умножим $- - \frac{3}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1 (\frac{3}{2})$

Этап 2.3.3.2

Умножим $\frac{3}{2}$ на $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Этап 3

Найдем значение $f (\frac{3}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = 7 + 3 (\frac{3}{2}) - {(\frac{3}{2})}^{2}$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим $3 (\frac{3}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $3$ и $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = 7 + \frac{3 \cdot 3}{2} - {(\frac{3}{2})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Умножим $3$ на $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = 7 + \frac{9}{2} - {(\frac{3}{2})}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = 7 + \frac{9}{2} - \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Этап 3.2.1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = 7 + \frac{9}{2} - \frac{9}{2^{2}}$

Этап 3.2.1.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = 7 + \frac{9}{2} - \frac{9}{4}$

Этап 3.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Запишем $7$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{7}{1} + \frac{9}{2} - \frac{9}{4}$

Этап 3.2.2.2

Умножим $\frac{7}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{7}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{9}{2} - \frac{9}{4}$

Этап 3.2.2.3

Умножим $\frac{7}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{7 \cdot 4}{4} + \frac{9}{2} - \frac{9}{4}$

Этап 3.2.2.4

Умножим $\frac{9}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{7 \cdot 4}{4} + \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{4}$

Этап 3.2.2.5

Умножим $\frac{9}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{7 \cdot 4}{4} + \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{9}{4}$

Этап 3.2.2.6

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{7 \cdot 4}{4} + \frac{9 \cdot 2}{4} - \frac{9}{4}$

Этап 3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{7 \cdot 4 + 9 \cdot 2 - 9}{4}$

Этап 3.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Умножим $7$ на $4$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{28 + 9 \cdot 2 - 9}{4}$

Этап 3.2.4.2

Умножим $9$ на $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{28 + 18 - 9}{4}$

Этап 3.2.5

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Добавим $28$ и $18$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{46 - 9}{4}$

Этап 3.2.5.2

Вычтем $9$ из $46$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{37}{4}$

Этап 3.2.6

Окончательный ответ: $\frac{37}{4}$ .

$\frac{37}{4}$

Этап 4

Используем значения $x$ и $y$ , чтобы найти, где достигается максимум.

$(\frac{3}{2}, \frac{37}{4})$

Этап 5