Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 5 x^{2} + 3 x - 7$

Этап 1

Квадратичная функция достигает минимума в $x = - \frac{b}{2 a}$ . Если $a$ принимает положительные значения, то минимальным значением функции будет $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{минимум}$ $x = a x^{2} + b x + c$ входит в $x = - \frac{b}{2 a}$

Этап 2

Найдем значение $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим в значения $a$ и $b$ .

$x = - \frac{3}{2 (5)}$

Этап 2.2

Избавимся от скобок.

$x = - \frac{3}{2 (5)}$

Этап 2.3

Умножим $2$ на $5$ .

$x = - \frac{3}{10}$

Этап 3

Найдем значение $f (- \frac{3}{10})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{3}{10}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 {(- \frac{3}{10})}^{2} + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{10}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{10})}^{2}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Этап 3.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{10}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{10^{2}})) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Этап 3.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (1 (\frac{3^{2}}{10^{2}})) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Этап 3.2.1.3

Умножим $\frac{3^{2}}{10^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{3^{2}}{10^{2}}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Этап 3.2.1.4

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{10^{2}}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Этап 3.2.1.5

Возведем $10$ в степень $2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{100}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Этап 3.2.1.6

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.1

Вынесем множитель $5$ из $100$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{5 (20)}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Этап 3.2.1.6.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{5 \cdot 20}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Этап 3.2.1.6.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Этап 3.2.1.7

Умножим $3 (- \frac{3}{10})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.7.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - 3 (\frac{3}{10}) - 7$

Этап 3.2.1.7.2

Объединим $- 3$ и $\frac{3}{10}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} + \frac{- 3 \cdot 3}{10} - 7$

Этап 3.2.1.7.3

Умножим $- 3$ на $3$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} + \frac{- 9}{10} - 7$

Этап 3.2.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9}{10} - 7$

Этап 3.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Умножим $\frac{9}{10}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - (\frac{9}{10} \cdot \frac{2}{2}) - 7$

Этап 3.2.2.2

Умножим $\frac{9}{10}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} - 7$

Этап 3.2.2.3

Запишем $- 7$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{- 7}{1}$

Этап 3.2.2.4

Умножим $\frac{- 7}{1}$ на $\frac{20}{20}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{- 7}{1} \cdot \frac{20}{20}$

Этап 3.2.2.5

Умножим $\frac{- 7}{1}$ на $\frac{20}{20}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{- 7 \cdot 20}{20}$

Этап 3.2.2.6

Изменим порядок множителей в $10 \cdot 2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 10} + \frac{- 7 \cdot 20}{20}$

Этап 3.2.2.7

Умножим $2$ на $10$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{20} + \frac{- 7 \cdot 20}{20}$

Этап 3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 - 7 \cdot 20}{20}$

Этап 3.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Умножим $- 9$ на $2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9 - 18 - 7 \cdot 20}{20}$

Этап 3.2.4.2

Умножим $- 7$ на $20$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9 - 18 - 140}{20}$

Этап 3.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Вычтем $18$ из $9$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{- 9 - 140}{20}$

Этап 3.2.5.2

Вычтем $140$ из $- 9$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{- 149}{20}$

Этап 3.2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{3}{10}) = - \frac{149}{20}$

Этап 3.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{149}{20}$ .

$- \frac{149}{20}$

Этап 4

Используем значения $x$ и $y$ , чтобы найти, где достигается минимум.

$(- \frac{3}{10}, - \frac{149}{20})$

Этап 5