Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 3 x^{2} + 24 x - 8$

Этап 1

Квадратичная функция достигает минимума в $x = - \frac{b}{2 a}$ . Если $a$ принимает положительные значения, то минимальным значением функции будет $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{минимум}$ $x = a x^{2} + b x + c$ входит в $x = - \frac{b}{2 a}$

Этап 2

Найдем значение $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим в значения $a$ и $b$ .

$x = - \frac{24}{2 (3)}$

Этап 2.2

Избавимся от скобок.

$x = - \frac{24}{2 (3)}$

Этап 2.3

Упростим $- \frac{24}{2 (3)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $24$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $24$ .

$x = - \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 3}$

Этап 2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 3$ .

$x = - \frac{2 \cdot 12}{2 (3)}$

Этап 2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = - \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 3}$

Этап 2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = - \frac{12}{3}$

Этап 2.3.2

Сократим общий множитель $12$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$x = - \frac{3 \cdot 4}{3}$

Этап 2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$x = - \frac{3 \cdot 4}{3 (1)}$

Этап 2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x = - \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x = - \frac{4}{1}$

Этап 2.3.2.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$x = - 1 \cdot 4$

Этап 2.3.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$x = - 4$

Этап 3

Найдем значение $f (- 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f (- 4) = 3 {(- 4)}^{2} + 24 (- 4) - 8$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f (- 4) = 3 \cdot 16 + 24 (- 4) - 8$

Этап 3.2.1.2

Умножим $3$ на $16$ .

$f (- 4) = 48 + 24 (- 4) - 8$

Этап 3.2.1.3

Умножим $24$ на $- 4$ .

$f (- 4) = 48 - 96 - 8$

Этап 3.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $96$ из $48$ .

$f (- 4) = - 48 - 8$

Этап 3.2.2.2

Вычтем $8$ из $- 48$ .

$f (- 4) = - 56$

Этап 3.2.3

Окончательный ответ: $- 56$ .

$- 56$

Этап 4

Используем значения $x$ и $y$ , чтобы найти, где достигается минимум.

$(- 4, - 56)$

Этап 5