Основы мат. анализа Примеры

$v (x) = \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3$

Этап 1

Запишем $v (x) = \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3$ в виде уравнения.

$y = \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{\sqrt{- y}}{3} - 3$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{\sqrt{- y}}{3} - 3 = x$ .

$\frac{\sqrt{- y}}{3} - 3 = x$

Этап 3.2

Решим относительно $\sqrt{- y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$\frac{\sqrt{- y}}{3} = x + 3$

Этап 3.2.2

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 \frac{\sqrt{- y}}{3} = 3 (x + 3)$

Этап 3.2.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{\sqrt{- y}}{3} = 3 (x + 3)$

Этап 3.2.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{- y} = 3 (x + 3)$

Этап 3.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Упростим $3 (x + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{- y} = 3 x + 3 \cdot 3$

Этап 3.2.3.2.1.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\sqrt{- y} = 3 x + 9$

Этап 3.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{- y}}^{2} = {(3 x + 9)}^{2}$

Этап 3.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{- y}$ в виде ${(- y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x + 9)}^{2}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим ${({(- y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(- y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x + 9)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(- y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x + 9)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(- y)}^{1} = {(3 x + 9)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.2

Упростим.

$- y = {(3 x + 9)}^{2}$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Упростим ${(3 x + 9)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1

Перепишем ${(3 x + 9)}^{2}$ в виде $(3 x + 9) (3 x + 9)$ .

$- y = (3 x + 9) (3 x + 9)$

Этап 3.4.3.1.2

Развернем $(3 x + 9) (3 x + 9)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- y = 3 x (3 x + 9) + 9 (3 x + 9)$

Этап 3.4.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- y = 3 x (3 x) + 3 x \cdot 9 + 9 (3 x + 9)$

Этап 3.4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- y = 3 x (3 x) + 3 x \cdot 9 + 9 (3 x) + 9 \cdot 9$

Этап 3.4.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- y = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot 9 + 9 (3 x) + 9 \cdot 9$

Этап 3.4.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$- y = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 9 + 9 (3 x) + 9 \cdot 9$

Этап 3.4.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- y = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot 9 + 9 (3 x) + 9 \cdot 9$

Этап 3.4.3.1.3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$- y = 9 x^{2} + 3 x \cdot 9 + 9 (3 x) + 9 \cdot 9$

Этап 3.4.3.1.3.1.4

Умножим $9$ на $3$ .

$- y = 9 x^{2} + 27 x + 9 (3 x) + 9 \cdot 9$

Этап 3.4.3.1.3.1.5

Умножим $3$ на $9$ .

$- y = 9 x^{2} + 27 x + 27 x + 9 \cdot 9$

Этап 3.4.3.1.3.1.6

Умножим $9$ на $9$ .

$- y = 9 x^{2} + 27 x + 27 x + 81$

Этап 3.4.3.1.3.2

Добавим $27 x$ и $27 x$ .

$- y = 9 x^{2} + 54 x + 81$

Этап 3.5

Разделим каждый член $- y = 9 x^{2} + 54 x + 81$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Разделим каждый член $- y = 9 x^{2} + 54 x + 81$ на $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{9 x^{2}}{- 1} + \frac{54 x}{- 1} + \frac{81}{- 1}$

Этап 3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} = \frac{9 x^{2}}{- 1} + \frac{54 x}{- 1} + \frac{81}{- 1}$

Этап 3.5.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{9 x^{2}}{- 1} + \frac{54 x}{- 1} + \frac{81}{- 1}$

Этап 3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{9 x^{2}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (9 x^{2}) + \frac{54 x}{- 1} + \frac{81}{- 1}$

Этап 3.5.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot (9 x^{2})$ в виде $- (9 x^{2})$ .

$y = - (9 x^{2}) + \frac{54 x}{- 1} + \frac{81}{- 1}$

Этап 3.5.3.1.3

Умножим $9$ на $- 1$ .

$y = - 9 x^{2} + \frac{54 x}{- 1} + \frac{81}{- 1}$

Этап 3.5.3.1.4

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{54 x}{- 1}$ .

$y = - 9 x^{2} - 1 \cdot (54 x) + \frac{81}{- 1}$

Этап 3.5.3.1.5

Перепишем $- 1 \cdot (54 x)$ в виде $- (54 x)$ .

$y = - 9 x^{2} - (54 x) + \frac{81}{- 1}$

Этап 3.5.3.1.6

Умножим $54$ на $- 1$ .

$y = - 9 x^{2} - 54 x + \frac{81}{- 1}$

Этап 3.5.3.1.7

Разделим $81$ на $- 1$ .

$y = - 9 x^{2} - 54 x - 81$

Этап 4

Replace $y$ with $v^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$v^{- 1} (x) = - 9 x^{2} - 54 x - 81$

Этап 5

Проверим, является ли $v^{- 1} (x) = - 9 x^{2} - 54 x - 81$ обратной к $v (x) = \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $v^{- 1} (v (x)) = x$ и $v (v^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $v^{- 1} (v (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$v^{- 1} (v (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3)$ , подставив значение $v$ в $v^{- 1}$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 {(\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3)}^{2} - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Перепишем ${(\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3)}^{2}$ в виде $(\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3)$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 ((\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3)) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Этап 5.2.3.2

Развернем $(\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 3 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3)) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Этап 5.2.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot \frac{\sqrt{- x}}{3} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3)) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Этап 5.2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot \frac{\sqrt{- x}}{3} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Этап 5.2.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot \frac{\sqrt{- x}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{- x}}{3}$ на $\frac{\sqrt{- x}}{3}$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{\sqrt{- x} \sqrt{- x}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Этап 5.2.3.3.1.1.2

Возведем $\sqrt{- x}$ в степень $1$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{\sqrt{- x} \sqrt{- x}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Этап 5.2.3.3.1.1.3

Возведем $\sqrt{- x}$ в степень $1$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{\sqrt{- x} \sqrt{- x}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Этап 5.2.3.3.1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{{\sqrt{- x}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Этап 5.2.3.3.1.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{{\sqrt{- x}}^{2}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Этап 5.2.3.3.1.1.6

Умножим $3$ на $3$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{{\sqrt{- x}}^{2}}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Этап 5.2.3.3.1.2

Перепишем ${\sqrt{- x}}^{2}$ в виде $- x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{- x}$ в виде ${(- x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{{({(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Этап 5.2.3.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{{(- x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Этап 5.2.3.3.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{{(- x)}^{\frac{2}{2}}}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Этап 5.2.3.3.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{{(- x)}^{\frac{2}{2}}}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Этап 5.2.3.3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{- x}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Этап 5.2.3.3.1.2.5

Упростим.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{- x}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Этап 5.2.3.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Этап 5.2.3.3.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1.4.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot (3 (- 1)) - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Этап 5.2.3.3.1.4.2

Сократим общий множитель.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot (3 \cdot - 1) - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Этап 5.2.3.3.1.4.3

Перепишем это выражение.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} + \sqrt{- x} \cdot - 1 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Этап 5.2.3.3.1.5

Перенесем $- 1$ влево от $\sqrt{- x}$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} - 1 \cdot \sqrt{- x} - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Этап 5.2.3.3.1.6

Перепишем $- 1 \sqrt{- x}$ в виде $- \sqrt{- x}$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} - \sqrt{- x} - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Этап 5.2.3.3.1.7

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1.7.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} - \sqrt{- x} + 3 (- 1) (\frac{\sqrt{- x}}{3}) - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Этап 5.2.3.3.1.7.2

Сократим общий множитель.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} - \sqrt{- x} + 3 \cdot (- 1 \frac{\sqrt{- x}}{3}) - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Этап 5.2.3.3.1.7.3

Перепишем это выражение.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} - \sqrt{- x} - 1 \sqrt{- x} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Этап 5.2.3.3.1.8

Перепишем $- 1 \sqrt{- x}$ в виде $- \sqrt{- x}$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} - \sqrt{- x} - \sqrt{- x} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Этап 5.2.3.3.1.9

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} - \sqrt{- x} - \sqrt{- x} + 9) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Этап 5.2.3.3.2

Вычтем $\sqrt{- x}$ из $- \sqrt{- x}$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} - 2 \sqrt{- x} + 9) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Этап 5.2.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9}) - 9 (- 2 \sqrt{- x}) - 9 \cdot 9 - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Этап 5.2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.5.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.5.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x}{9}$ в числитель.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 \frac{- x}{9} - 9 (- 2 \sqrt{- x}) - 9 \cdot 9 - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Этап 5.2.3.5.1.2

Вынесем множитель $9$ из $- 9$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = 9 (- 1) (\frac{- x}{9}) - 9 (- 2 \sqrt{- x}) - 9 \cdot 9 - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Этап 5.2.3.5.1.3

Сократим общий множитель.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = 9 \cdot (- 1 \frac{- x}{9}) - 9 (- 2 \sqrt{- x}) - 9 \cdot 9 - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Этап 5.2.3.5.1.4

Перепишем это выражение.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 1 (- x) - 9 (- 2 \sqrt{- x}) - 9 \cdot 9 - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Этап 5.2.3.5.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = 1 x - 9 (- 2 \sqrt{- x}) - 9 \cdot 9 - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Этап 5.2.3.5.3

Умножим $x$ на $1$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x - 9 (- 2 \sqrt{- x}) - 9 \cdot 9 - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Этап 5.2.3.5.4

Умножим $- 2$ на $- 9$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 18 \sqrt{- x} - 9 \cdot 9 - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Этап 5.2.3.5.5

Умножим $- 9$ на $9$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 18 \sqrt{- x} - 81 - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Этап 5.2.3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 18 \sqrt{- x} - 81 - 54 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 54 \cdot - 3 - 81$

Этап 5.2.3.7

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.7.1

Вынесем множитель $3$ из $- 54$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 18 \sqrt{- x} - 81 + 3 (- 18) (\frac{\sqrt{- x}}{3}) - 54 \cdot - 3 - 81$

Этап 5.2.3.7.2

Сократим общий множитель.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 18 \sqrt{- x} - 81 + 3 \cdot (- 18 \frac{\sqrt{- x}}{3}) - 54 \cdot - 3 - 81$

Этап 5.2.3.7.3

Перепишем это выражение.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 18 \sqrt{- x} - 81 - 18 \sqrt{- x} - 54 \cdot - 3 - 81$

Этап 5.2.3.8

Умножим $- 54$ на $- 3$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 18 \sqrt{- x} - 81 - 18 \sqrt{- x} + 162 - 81$

Этап 5.2.4

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Объединим противоположные члены в $x + 18 \sqrt{- x} - 81 - 18 \sqrt{- x} + 162 - 81$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.1

Вычтем $18 \sqrt{- x}$ из $18 \sqrt{- x}$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 0 - 81 + 162 - 81$

Этап 5.2.4.1.2

Добавим $x$ и $0$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x - 81 + 162 - 81$

Этап 5.2.4.2

Добавим $- 81$ и $162$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 81 - 81$

Этап 5.2.4.3

Объединим противоположные члены в $x + 81 - 81$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Вычтем $81$ из $81$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 0$

Этап 5.2.4.3.2

Добавим $x$ и $0$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $v (v^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$v (v^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $v (- 9 x^{2} - 54 x - 81)$ , подставив значение $v^{- 1}$ в $v$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (- 9 x^{2} - 54 x - 81)}}{3} - 3$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем множитель $9$ из $- 9 x^{2} - 54 x - 81$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $9$ из $- 9 x^{2}$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- x^{2}) - 54 x - 81)}}{3} - 3$

Этап 5.3.3.1.1.2

Вынесем множитель $9$ из $- 54 x$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- x^{2}) + 9 (- 6 x) - 81)}}{3} - 3$

Этап 5.3.3.1.1.3

Вынесем множитель $9$ из $- 81$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- x^{2}) + 9 (- 6 x) + 9 (- 9))}}{3} - 3$

Этап 5.3.3.1.1.4

Вынесем множитель $9$ из $9 (- x^{2}) + 9 (- 6 x)$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- x^{2} - 6 x) + 9 (- 9))}}{3} - 3$

Этап 5.3.3.1.1.5

Вынесем множитель $9$ из $9 (- x^{2} - 6 x) + 9 (- 9)$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- x^{2} - 6 x - 9))}}{3} - 3$

Этап 5.3.3.1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 9 = 9$ , а сумма — $b = - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.1.1

Вынесем множитель $- 6$ из $- 6 x$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- x^{2} - 6 x - 9))}}{3} - 3$

Этап 5.3.3.1.2.1.2

Запишем $- 6$ как $- 3$ плюс $- 3$

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- x^{2} + (- 3 - 3) x - 9))}}{3} - 3$

Этап 5.3.3.1.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- x^{2} - 3 x - 3 x - 9))}}{3} - 3$

Этап 5.3.3.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 ((- x^{2} - 3 x) - 3 x - 9))}}{3} - 3$

Этап 5.3.3.1.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (x (- x - 3) + 3 (- x - 3)))}}{3} - 3$

Этап 5.3.3.1.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x - 3$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 ((- x - 3) (x + 3)))}}{3} - 3$

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- x - 3) (x + 3))}}{3} - 3$

Этап 5.3.3.1.3

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- (x) - 3) (x + 3))}}{3} - 3$

Этап 5.3.3.1.3.2

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- (x) - 1 \cdot 3) (x + 3))}}{3} - 3$

Этап 5.3.3.1.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (3)$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- (x + 3)) (x + 3))}}{3} - 3$

Этап 5.3.3.1.3.4

Перепишем $- (x + 3)$ в виде $- 1 (x + 3)$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- 1 (x + 3)) (x + 3))}}{3} - 3$

Этап 5.3.3.1.3.5

Возведем $x + 3$ в степень $1$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 \cdot (- 1 ((x + 3) (x + 3))))}}{3} - 3$

Этап 5.3.3.1.3.6

Возведем $x + 3$ в степень $1$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 \cdot (- 1 ((x + 3) (x + 3))))}}{3} - 3$

Этап 5.3.3.1.3.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 \cdot (- 1 {(x + 3)}^{1 + 1}))}}{3} - 3$

Этап 5.3.3.1.3.8

Добавим $1$ и $1$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 \cdot (- 1 {(x + 3)}^{2}))}}{3} - 3$

Этап 5.3.3.1.3.9

Умножим $9$ на $- 1$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (- 9 {(x + 3)}^{2})}}{3} - 3$

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{9 {(x + 3)}^{2}}}{3} - 3$

Этап 5.3.3.1.4

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{9 {(x + 3)}^{2}}}{3} - 3$

Этап 5.3.3.1.5

Перепишем $9 {(x + 3)}^{2}$ в виде ${(3 (x + 3))}^{2}$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{{(3 (x + 3))}^{2}}}{3} - 3$

Этап 5.3.3.1.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{3 (x + 3)}{3} - 3$

Этап 5.3.3.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{3 x + 3 \cdot 3}{3} - 3$

Этап 5.3.3.1.8

Умножим $3$ на $3$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{3 x + 9}{3} - 3$

Этап 5.3.3.1.9

Вынесем множитель $3$ из $3 x + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.9.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{3 (x) + 9}{3} - 3$

Этап 5.3.3.1.9.2

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{3 x + 3 \cdot 3}{3} - 3$

Этап 5.3.3.1.9.3

Вынесем множитель $3$ из $3 x + 3 \cdot 3$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{3 (x + 3)}{3} - 3$

Этап 5.3.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{3 (x + 3)}{3} - 3$

Этап 5.3.3.2.2

Разделим $x + 3$ на $1$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = x + 3 - 3$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x + 3 - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = x$

Этап 5.4

Так как $v^{- 1} (v (x)) = x$ и $v (v^{- 1} (x)) = x$ , то $v^{- 1} (x) = - 9 x^{2} - 54 x - 81$ — обратная к $v (x) = \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3$ .

$v^{- 1} (x) = - 9 x^{2} - 54 x - 81$