Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$

Этап 1

Запишем $f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$ в виде уравнения.

$y = \ln (x + 2) + \ln (3)$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \ln (y + 2) + \ln (3)$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\ln (y + 2) + \ln (3) = x$ .

$\ln (y + 2) + \ln (3) = x$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((y + 2) \cdot 3) = x$

Этап 3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (y \cdot 3 + 2 \cdot 3) = x$

Этап 3.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Перенесем $3$ влево от $y$ .

$\ln (3 \cdot y + 2 \cdot 3) = x$

Этап 3.2.3.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\ln (3 y + 6) = x$

Этап 3.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (3 y + 6)} = e^{x}$

Этап 3.4

Перепишем $\ln (3 y + 6) = x$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{x} = 3 y + 6$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $3 y + 6 = e^{x}$ .

$3 y + 6 = e^{x}$

Этап 3.5.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$3 y = e^{x} - 6$

Этап 3.5.3

Разделим каждый член $3 y = e^{x} - 6$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Разделим каждый член $3 y = e^{x} - 6$ на $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x}}{3} + \frac{- 6}{3}$

Этап 3.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x}}{3} + \frac{- 6}{3}$

Этап 3.5.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{3} + \frac{- 6}{3}$

Этап 3.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1

Разделим $- 6$ на $3$ .

$y = \frac{e^{x}}{3} - 2$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$ обратной к $f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{e^{\ln (x + 2) + \ln (3)}}{3} - 2$

Этап 5.2.3

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{e^{\ln ((x + 2) \cdot 3)}}{3} - 2$

Этап 5.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.1

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{(x + 2) \cdot 3}{3} - 2$

Этап 5.2.4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{x \cdot 3 + 2 \cdot 3}{3} - 2$

Этап 5.2.4.1.3

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 \cdot x + 2 \cdot 3}{3} - 2$

Этап 5.2.4.1.4

Умножим $2$ на $3$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 \cdot x + 6}{3} - 2$

Этап 5.2.4.1.5

Вынесем множитель $3$ из $3 x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.5.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 (x) + 6}{3} - 2$

Этап 5.2.4.1.5.2

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 x + 3 \cdot 2}{3} - 2$

Этап 5.2.4.1.5.3

Вынесем множитель $3$ из $3 x + 3 \cdot 2$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 (x + 2)}{3} - 2$

Этап 5.2.4.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 (x + 2)}{3} - 2$

Этап 5.2.4.2.2

Разделим $x + 2$ на $1$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = x + 2 - 2$

Этап 5.2.5

Объединим противоположные члены в $x + 2 - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = x + 0$

Этап 5.2.5.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{e^{x}}{3} - 2)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln ((\frac{e^{x}}{3} - 2) + 2) + \ln (3)$

Этап 5.3.3

Объединим противоположные члены в $\ln ((\frac{e^{x}}{3} - 2) + 2) + \ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3} + 0) + \ln (3)$

Этап 5.3.3.2

Добавим $\frac{e^{x}}{3}$ и $0$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3}) + \ln (3)$

Этап 5.3.4

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3} \cdot 3)$

Этап 5.3.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3} \cdot 3)$

Этап 5.3.5.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (e^{x})$

Этап 5.3.6

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $x$ из степени.

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = x \ln (e)$

Этап 5.3.7

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = x \cdot 1$

Этап 5.3.8

Умножим $x$ на $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$ — обратная к $f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$