Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \sqrt{3 x - 4}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \sqrt{3 x - 4}$ в виде уравнения.

$y = \sqrt{3 x - 4}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \sqrt{3 y - 4}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{3 y - 4} = x$ .

$\sqrt{3 y - 4} = x$

Этап 3.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{3 y - 4}}^{2} = x^{2}$

Этап 3.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 y - 4}$ в виде ${(3 y - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим ${({(3 y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(3 y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 y - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 3.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(3 y - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 3.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(3 y - 4)}^{1} = x^{2}$

Этап 3.3.2.1.2

Упростим.

$3 y - 4 = x^{2}$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$3 y = x^{2} + 4$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $3 y = x^{2} + 4$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $3 y = x^{2} + 4$ на $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}$ обратной к $f (x) = \sqrt{3 x - 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\sqrt{3 x - 4})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 4}) = \frac{{(\sqrt{3 x - 4})}^{2}}{3} + \frac{4}{3}$

Этап 5.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 4}) = \frac{{(\sqrt{3 x - 4})}^{2} + 4}{3}$

Этап 5.2.4

Перепишем ${\sqrt{3 x - 4}}^{2}$ в виде $3 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 x - 4}$ в виде ${(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 4}) = \frac{{({(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4}{3}$

Этап 5.2.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 4}) = \frac{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4}{3}$

Этап 5.2.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 4}) = \frac{{(3 x - 4)}^{\frac{2}{2}} + 4}{3}$

Этап 5.2.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 4}) = \frac{{(3 x - 4)}^{\frac{2}{2}} + 4}{3}$

Этап 5.2.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 4}) = \frac{(3 x - 4) + 4}{3}$

Этап 5.2.4.5

Упростим.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 4}) = \frac{3 x - 4 + 4}{3}$

Этап 5.2.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Объединим противоположные члены в $3 x - 4 + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1.1

Добавим $- 4$ и $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 4}) = \frac{3 x + 0}{3}$

Этап 5.2.5.1.2

Добавим $3 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 4}) = \frac{3 x}{3}$

Этап 5.2.5.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 4}) = \frac{3 x}{3}$

Этап 5.2.5.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 4}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}) - 4}$

Этап 5.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3}) + 3 (\frac{4}{3}) - 4}$

Этап 5.3.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3}) + 3 (\frac{4}{3}) - 4}$

Этап 5.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}) = \sqrt{x^{2} + 3 (\frac{4}{3}) - 4}$

Этап 5.3.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}) = \sqrt{x^{2} + 3 (\frac{4}{3}) - 4}$

Этап 5.3.5.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}) = \sqrt{x^{2} + 4 - 4}$

Этап 5.3.6

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Вычтем $4$ из $4$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Этап 5.3.6.2

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}) = \sqrt{x^{2}}$

Этап 5.3.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (\frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}$ — обратная к $f (x) = \sqrt{3 x - 4}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}$