Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{8 x - 6}{15}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{8 x - 6}{15}$ в виде уравнения.

$y = \frac{8 x - 6}{15}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{8 y - 6}{15}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{8 y - 6}{15} = x$ .

$\frac{8 y - 6}{15} = x$

Этап 3.2

Умножим обе части на $15$ .

$\frac{8 y - 6}{15} \cdot 15 = x \cdot 15$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Упростим $\frac{8 y - 6}{15} \cdot 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8 y - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8 y$ .

$\frac{2 (4 y) - 6}{15} \cdot 15 = x \cdot 15$

Этап 3.3.1.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$\frac{2 (4 y) + 2 (- 3)}{15} \cdot 15 = x \cdot 15$

Этап 3.3.1.1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (4 y) + 2 (- 3)$ .

$\frac{2 (4 y - 3)}{15} \cdot 15 = x \cdot 15$

Этап 3.3.1.1.2

Сократим общий множитель $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (4 y - 3)}{15} \cdot 15 = x \cdot 15$

Этап 3.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$2 (4 y - 3) = x \cdot 15$

Этап 3.3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (4 y) + 2 \cdot - 3 = x \cdot 15$

Этап 3.3.1.1.4

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.4.1

Умножим $4$ на $2$ .

$8 y + 2 \cdot - 3 = x \cdot 15$

Этап 3.3.1.1.4.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$8 y - 6 = x \cdot 15$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Перенесем $15$ влево от $x$ .

$8 y - 6 = 15 x$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$8 y = 15 x + 6$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $8 y = 15 x + 6$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $8 y = 15 x + 6$ на $8$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{15 x}{8} + \frac{6}{8}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 y}{8} = \frac{15 x}{8} + \frac{6}{8}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{15 x}{8} + \frac{6}{8}$

Этап 3.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Сократим общий множитель $6$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$y = \frac{15 x}{8} + \frac{2 (3)}{8}$

Этап 3.4.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$y = \frac{15 x}{8} + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4}$

Этап 3.4.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{15 x}{8} + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4}$

Этап 3.4.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}$ обратной к $f (x) = \frac{8 x - 6}{15}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{15 (\frac{8 x - 6}{15})}{8} + \frac{3}{4}$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $8 x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8 x$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{15 (\frac{2 (4 x) - 6}{15})}{8} + \frac{3}{4}$

Этап 5.2.3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{15 (\frac{2 (4 x) + 2 (- 3)}{15})}{8} + \frac{3}{4}$

Этап 5.2.3.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (4 x) + 2 (- 3)$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{15 (\frac{2 (4 x - 3)}{15})}{8} + \frac{3}{4}$

Этап 5.2.3.2

Объединим $15$ и $\frac{2 (4 x - 3)}{15}$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{\frac{15 (2 (4 x - 3))}{15}}{8} + \frac{3}{4}$

Этап 5.2.3.3

Умножим $15$ на $2$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{\frac{30 (4 x - 3)}{15}}{8} + \frac{3}{4}$

Этап 5.2.3.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1

Сократим выражение $\frac{30 (4 x - 3)}{15}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1.1

Вынесем множитель $15$ из $30 (4 x - 3)$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{\frac{15 (2 (4 x - 3))}{15}}{8} + \frac{3}{4}$

Этап 5.2.3.4.1.2

Вынесем множитель $15$ из $15$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{\frac{15 (2 (4 x - 3))}{15 (1)}}{8} + \frac{3}{4}$

Этап 5.2.3.4.1.3

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{\frac{15 (2 (4 x - 3))}{15 \cdot 1}}{8} + \frac{3}{4}$

Этап 5.2.3.4.1.4

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{\frac{2 (4 x - 3)}{1}}{8} + \frac{3}{4}$

Этап 5.2.3.4.2

Разделим $2 (4 x - 3)$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{2 (4 x - 3)}{8} + \frac{3}{4}$

Этап 5.2.3.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{2 (4 x - 3)}{2 \cdot 4} + \frac{3}{4}$

Этап 5.2.3.5.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{2 (4 x - 3)}{2 \cdot 4} + \frac{3}{4}$

Этап 5.2.3.5.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{4 x - 3}{4} + \frac{3}{4}$

Этап 5.2.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{4 x - 3 + 3}{4}$

Этап 5.2.4.2

Объединим противоположные члены в $4 x - 3 + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Добавим $- 3$ и $3$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{4 x + 0}{4}$

Этап 5.2.4.2.2

Добавим $4 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{4 x}{4}$

Этап 5.2.4.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{4 x}{4}$

Этап 5.2.4.3.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{8 (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) - 6}{15}$

Этап 5.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $8 (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8 (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4})$ .

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{2 (4 (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4})) - 6}{15}$

Этап 5.3.3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{2 (4 (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4})) + 2 (- 3)}{15}$

Этап 5.3.3.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (4 (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4})) + 2 (- 3)$ .

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{2 (4 (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) - 3)}{15}$

Этап 5.3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{2 (4 (\frac{15 x}{8}) + 4 (\frac{3}{4}) - 3)}{15}$

Этап 5.3.3.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{2 (4 (\frac{15 x}{4 (2)}) + 4 (\frac{3}{4}) - 3)}{15}$

Этап 5.3.3.3.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{2 (4 (\frac{15 x}{4 \cdot 2}) + 4 (\frac{3}{4}) - 3)}{15}$

Этап 5.3.3.3.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{2 (\frac{15 x}{2} + 4 (\frac{3}{4}) - 3)}{15}$

Этап 5.3.3.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{2 (\frac{15 x}{2} + 4 (\frac{3}{4}) - 3)}{15}$

Этап 5.3.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{2 (\frac{15 x}{2} + 3 - 3)}{15}$

Этап 5.3.3.5

Вычтем $3$ из $3$ .

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{2 (\frac{15 x}{2} + 0)}{15}$

Этап 5.3.3.6

Добавим $\frac{15 x}{2}$ и $0$ .

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{2 (\frac{15 x}{2})}{15}$

Этап 5.3.4

Объединим $2$ и $\frac{15 x}{2}$ .

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{\frac{2 (15 x)}{2}}{15}$

Этап 5.3.5

Умножим $2$ на $15$ .

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{\frac{30 x}{2}}{15}$

Этап 5.3.6

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Сократим выражение $\frac{30 x}{2}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1.1

Вынесем множитель $2$ из $30 x$ .

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{\frac{2 (15 x)}{2}}{15}$

Этап 5.3.6.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{\frac{2 (15 x)}{2 (1)}}{15}$

Этап 5.3.6.1.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{\frac{2 (15 x)}{2 \cdot 1}}{15}$

Этап 5.3.6.1.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{\frac{15 x}{1}}{15}$

Этап 5.3.6.2

Разделим $15 x$ на $1$ .

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{15 x}{15}$

Этап 5.3.7

Сократим общий множитель $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{15 x}{15}$

Этап 5.3.7.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}$ — обратная к $f (x) = \frac{8 x - 6}{15}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}$