Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \log_{4} (x - 1)$

Этап 1

Запишем $f (x) = \log_{4} (x - 1)$ в виде уравнения.

$y = \log_{4} (x - 1)$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \log_{4} (y - 1)$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\log_{4} (y - 1) = x$ .

$\log_{4} (y - 1) = x$

Этап 3.2

Перепишем $\log_{4} (y - 1) = x$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$4^{x} = y - 1$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $y - 1 = 4^{x}$ .

$y - 1 = 4^{x}$

Этап 3.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = 4^{x} + 1$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = 4^{x} + 1$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 4^{x} + 1$ обратной к $f (x) = \log_{4} (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\log_{4} (x - 1))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{4} (x - 1)) = 4^{\log_{4} (x - 1)} + 1$

Этап 5.2.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f^{- 1} (\log_{4} (x - 1)) = x - 1 + 1$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $x - 1 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\log_{4} (x - 1)) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\log_{4} (x - 1)) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (4^{x} + 1)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (4^{x} + 1) = \log_{4} ((4^{x} + 1) - 1)$

Этап 5.3.3

Объединим противоположные члены в $(4^{x} + 1) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (4^{x} + 1) = \log_{4} (4^{x} + 0)$

Этап 5.3.3.2

Добавим $4^{x}$ и $0$ .

$f (4^{x} + 1) = \log_{4} (4^{x})$

Этап 5.3.4

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $x$ из степени.

$f (4^{x} + 1) = x \log_{4} (4)$

Этап 5.3.5

Логарифм $4$ по основанию $4$ равен $1$ .

$f (4^{x} + 1) = x \cdot 1$

Этап 5.3.6

Умножим $x$ на $1$ .

$f (4^{x} + 1) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = 4^{x} + 1$ — обратная к $f (x) = \log_{4} (x - 1)$ .

$f^{- 1} (x) = 4^{x} + 1$