Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{1}{2 x + 5}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{1}{2 x + 5}$ в виде уравнения.

$y = \frac{1}{2 x + 5}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{1}{2 y + 5}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{2 y + 5} = x$ .

$\frac{1}{2 y + 5} = x$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 y + 5, 1$

Этап 3.2.2

Избавимся от скобок.

$2 y + 5, 1$

Этап 3.2.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$2 y + 5$

Этап 3.3

Каждый член в $\frac{1}{2 y + 5} = x$ умножим на $2 y + 5$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{2 y + 5} = x$ на $2 y + 5$ .

$\frac{1}{2 y + 5} (2 y + 5) = x (2 y + 5)$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $2 y + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 y + 5} (2 y + 5) = x (2 y + 5)$

Этап 3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = x (2 y + 5)$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = x (2 y) + x \cdot 5$

Этап 3.3.3.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = 2 x y + x \cdot 5$

Этап 3.3.3.2.2

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$1 = 2 x y + 5 x$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $2 x y + 5 x = 1$ .

$2 x y + 5 x = 1$

Этап 3.4.2

Вычтем $5 x$ из обеих частей уравнения.

$2 x y = 1 - 5 x$

Этап 3.4.3

Разделим каждый член $2 x y = 1 - 5 x$ на $2 x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Разделим каждый член $2 x y = 1 - 5 x$ на $2 x$ .

$\frac{2 x y}{2 x} = \frac{1}{2 x} + \frac{- 5 x}{2 x}$

Этап 3.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x y}{2 x} = \frac{1}{2 x} + \frac{- 5 x}{2 x}$

Этап 3.4.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x y}{x} = \frac{1}{2 x} + \frac{- 5 x}{2 x}$

Этап 3.4.3.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y}{x} = \frac{1}{2 x} + \frac{- 5 x}{2 x}$

Этап 3.4.3.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{- 5 x}{2 x}$

Этап 3.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{- 5 x}{2 x}$

Этап 3.4.3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{- 5}{2}$

Этап 3.4.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}$ обратной к $f (x) = \frac{1}{2 x + 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = \frac{1}{2 (\frac{1}{2 x + 5})} - \frac{5}{2}$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2 x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = \frac{1}{\frac{2}{2 x + 5}} - \frac{5}{2}$

Этап 5.2.3.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = 1 (\frac{2 x + 5}{2}) - \frac{5}{2}$

Этап 5.2.3.3

Умножим $\frac{2 x + 5}{2}$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = \frac{2 x + 5}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 5.2.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = \frac{2 x + 5 - 5}{2}$

Этап 5.2.4.2

Объединим противоположные члены в $2 x + 5 - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Вычтем $5$ из $5$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Этап 5.2.4.2.2

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.2.4.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.2.4.3.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{2 (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) + 5}$

Этап 5.3.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{2 (\frac{1}{2 x}) + 2 (- \frac{5}{2}) + 5}$

Этап 5.3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{2 (\frac{1}{2 (x)}) + 2 (- \frac{5}{2}) + 5}$

Этап 5.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{2 (\frac{1}{2 x}) + 2 (- \frac{5}{2}) + 5}$

Этап 5.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 2 (- \frac{5}{2}) + 5}$

Этап 5.3.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5}{2}$ в числитель.

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 2 (\frac{- 5}{2}) + 5}$

Этап 5.3.3.3.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 2 (\frac{- 5}{2}) + 5}$

Этап 5.3.3.3.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{x} - 5 + 5}$

Этап 5.3.3.4

Добавим $- 5$ и $5$ .

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 0}$

Этап 5.3.3.5

Добавим $\frac{1}{x}$ и $0$ .

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Этап 5.3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = 1 x$

Этап 5.3.5

Умножим $x$ на $1$ .

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}$ — обратная к $f (x) = \frac{1}{2 x + 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}$