Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 3^{x + 1} - 2$

Этап 1

Запишем $f (x) = 3^{x + 1} - 2$ в виде уравнения.

$y = 3^{x + 1} - 2$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 3^{y + 1} - 2$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $3^{y + 1} - 2 = x$ .

$3^{y + 1} - 2 = x$

Этап 3.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$3^{y + 1} = x + 2$

Этап 3.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (3^{y + 1}) = \ln (x + 2)$

Этап 3.4

Развернем $\ln (3^{y + 1})$ , вынося $y + 1$ из логарифма.

$(y + 1) \ln (3) = \ln (x + 2)$

Этап 3.5

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим $(y + 1) \ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y \ln (3) + 1 \ln (3) = \ln (x + 2)$

Этап 3.5.1.2

Умножим $\ln (3)$ на $1$ .

$y \ln (3) + \ln (3) = \ln (x + 2)$

Этап 3.6

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$y \ln (3) + \ln (3) - \ln (x + 2) = 0$

Этап 3.7

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$y \ln (3) + \ln (\frac{3}{x + 2}) = 0$

Этап 3.8

Вычтем $\ln (\frac{3}{x + 2})$ из обеих частей уравнения.

$y \ln (3) = - \ln (\frac{3}{x + 2})$

Этап 3.9

Разделим каждый член $y \ln (3) = - \ln (\frac{3}{x + 2})$ на $\ln (3)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Разделим каждый член $y \ln (3) = - \ln (\frac{3}{x + 2})$ на $\ln (3)$ .

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

Этап 3.9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1

Сократим общий множитель $\ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

Этап 3.9.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- \ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

Этап 3.9.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$ обратной к $f (x) = 3^{x + 1} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (3^{x + 1} - 2)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3^{x + 1} - 2) = - \frac{\ln (\frac{3}{(3^{x + 1} - 2) + 2})}{\ln (3)}$

Этап 5.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f^{- 1} (3^{x + 1} - 2) = - \frac{\ln (\frac{3}{3^{x + 1} + 0})}{\ln (3)}$

Этап 5.2.3.2

Добавим $3^{x + 1}$ и $0$ .

$f^{- 1} (3^{x + 1} - 2) = - \frac{\ln (\frac{3}{3^{x + 1}})}{\ln (3)}$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) = 3^{(- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) + 1} - 2$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) = 3^{- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)} + \frac{\ln (3)}{\ln (3)}} - 2$

Этап 5.3.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) = 3^{\frac{- \ln (\frac{3}{x + 2}) + \ln (3)}{\ln (3)}} - 2$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$ — обратная к $f (x) = 3^{x + 1} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$