Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{4 x}{x + 5}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{4 x}{x + 5}$ в виде уравнения.

$y = \frac{4 x}{x + 5}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{4 y}{y + 5}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{4 y}{y + 5} = x$ .

$\frac{4 y}{y + 5} = x$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y + 5, 1$

Этап 3.2.2

Избавимся от скобок.

$y + 5, 1$

Этап 3.2.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y + 5$

Этап 3.3

Каждый член в $\frac{4 y}{y + 5} = x$ умножим на $y + 5$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $\frac{4 y}{y + 5} = x$ на $y + 5$ .

$\frac{4 y}{y + 5} (y + 5) = x (y + 5)$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $y + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y}{y + 5} (y + 5) = x (y + 5)$

Этап 3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$4 y = x (y + 5)$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y = x y + x \cdot 5$

Этап 3.3.3.2

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$4 y = x y + 5 x$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $x y$ из обеих частей уравнения.

$4 y - x y = 5 x$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $y$ из $4 y - x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель $y$ из $4 y$ .

$y \cdot 4 - x y = 5 x$

Этап 3.4.2.2

Вынесем множитель $y$ из $- x y$ .

$y \cdot 4 + y (- x) = 5 x$

Этап 3.4.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 4 + y (- x)$ .

$y (4 - x) = 5 x$

Этап 3.4.3

Разделим каждый член $y (4 - x) = 5 x$ на $4 - x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Разделим каждый член $y (4 - x) = 5 x$ на $4 - x$ .

$\frac{y (4 - x)}{4 - x} = \frac{5 x}{4 - x}$

Этап 3.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Сократим общий множитель $4 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (4 - x)}{4 - x} = \frac{5 x}{4 - x}$

Этап 3.4.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{5 x}{4 - x}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{4 - x}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{4 - x}$ обратной к $f (x) = \frac{4 x}{x + 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{5 (\frac{4 x}{x + 5})}{4 - (\frac{4 x}{x + 5})}$

Этап 5.2.3

Объединим $5$ и $\frac{4 x}{x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{x + 5}}{4 - \frac{4 x}{x + 5}}$

Этап 5.2.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{x + 5}}{\frac{4 (x + 5)}{x + 5} - \frac{4 x}{x + 5}}$

Этап 5.2.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{x + 5}}{\frac{4 (x + 5) - 4 x}{x + 5}}$

Этап 5.2.4.3

Изменим порядок членов.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{x + 5}}{\frac{- 4 x + 4 (x + 5)}{x + 5}}$

Этап 5.2.4.4

Перепишем $\frac{- 4 x + 4 (x + 5)}{x + 5}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.4.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x + 4 (x + 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.4.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{x + 5}}{\frac{4 (- x) + 4 (x + 5)}{x + 5}}$

Этап 5.2.4.4.1.2

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x) + 4 (x + 5)$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{x + 5}}{\frac{4 (- x + x + 5)}{x + 5}}$

Этап 5.2.4.4.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{x + 5}}{\frac{4 (0 + 5)}{x + 5}}$

Этап 5.2.4.4.3

Добавим $0$ и $5$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{x + 5}}{\frac{4 \cdot 5}{x + 5}}$

Этап 5.2.4.5

Умножим $4$ на $5$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{x + 5}}{\frac{20}{x + 5}}$

Этап 5.2.5

Умножим $5$ на $4$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{\frac{20 x}{x + 5}}{\frac{20}{x + 5}}$

Этап 5.2.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{20 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{20}$

Этап 5.2.7

Сократим общий множитель $20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Вынесем множитель $20$ из $20 x$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{20 (x)}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{20}$

Этап 5.2.7.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{20 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{20}$

Этап 5.2.7.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{x}{x + 5} \cdot (x + 5)$

Этап 5.2.8

Сократим общий множитель $x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = \frac{x}{x + 5} \cdot (x + 5)$

Этап 5.2.8.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{x + 5}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{5 x}{4 - x})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{4 (\frac{5 x}{4 - x})}{(\frac{5 x}{4 - x}) + 5}$

Этап 5.3.3

Объединим $4$ и $\frac{5 x}{4 - x}$ .

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{4 - x}}{\frac{5 x}{4 - x} + 5}$

Этап 5.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4 - x}{4 - x}$ .

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{4 - x}}{\frac{5 x}{4 - x} + \frac{5 (4 - x)}{4 - x}}$

Этап 5.3.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{4 - x}}{\frac{5 x + 5 (4 - x)}{4 - x}}$

Этап 5.3.4.3

Изменим порядок членов.

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{4 - x}}{\frac{5 x + 5 (4 - x)}{- x + 4}}$

Этап 5.3.4.4

Перепишем $\frac{5 x + 5 (4 - x)}{- x + 4}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.4.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x + 5 (4 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.4.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{4 - x}}{\frac{5 (x) + 5 (4 - x)}{- x + 4}}$

Этап 5.3.4.4.1.2

Вынесем множитель $5$ из $5 (x) + 5 (4 - x)$ .

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{4 - x}}{\frac{5 (x + 4 - x)}{- x + 4}}$

Этап 5.3.4.4.2

Вычтем $x$ из $x$ .

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{4 - x}}{\frac{5 (0 + 4)}{- x + 4}}$

Этап 5.3.4.4.3

Добавим $0$ и $4$ .

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{4 - x}}{\frac{5 \cdot 4}{- x + 4}}$

Этап 5.3.4.5

Умножим $5$ на $4$ .

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{4 - x}}{\frac{20}{- x + 4}}$

Этап 5.3.5

Умножим $4$ на $5$ .

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{\frac{20 x}{4 - x}}{\frac{20}{- x + 4}}$

Этап 5.3.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{20 x}{4 - x} \cdot \frac{- x + 4}{20}$

Этап 5.3.7

Сократим общий множитель $20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Вынесем множитель $20$ из $20 x$ .

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{20 (x)}{4 - x} \cdot \frac{- x + 4}{20}$

Этап 5.3.7.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{20 x}{4 - x} \cdot \frac{- x + 4}{20}$

Этап 5.3.7.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{x}{4 - x} \cdot (- x + 4)$

Этап 5.3.8

Умножим $\frac{x}{4 - x}$ на $- x + 4$ .

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{x (- x + 4)}{4 - x}$

Этап 5.3.9

Сократим общий множитель $- x + 4$ и $4 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.9.1

Изменим порядок членов.

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{x (- x + 4)}{- x + 4}$

Этап 5.3.9.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = \frac{x (- x + 4)}{- x + 4}$

Этап 5.3.9.3

Разделим $x$ на $1$ .

$f (\frac{5 x}{4 - x}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{4 - x}$ — обратная к $f (x) = \frac{4 x}{x + 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{4 - x}$