Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = - 4 x^{2} + 1$

Этап 1

Запишем $f (x) = - 4 x^{2} + 1$ в виде уравнения.

$y = - 4 x^{2} + 1$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = - 4 y^{2} + 1$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $- 4 y^{2} + 1 = x$ .

$- 4 y^{2} + 1 = x$

Этап 3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 4 y^{2} = x - 1$

Этап 3.3

Разделим каждый член $- 4 y^{2} = x - 1$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $- 4 y^{2} = x - 1$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 y^{2}}{- 4} = \frac{x}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 y^{2}}{- 4} = \frac{x}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = - \frac{x}{4} + \frac{- 1}{- 4}$

Этап 3.3.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y^{2} = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

Этап 3.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{4} + \frac{1}{4}}$

Этап 3.5

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{x}{4} + \frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{- x + 1}{4}}$

Этап 3.5.2

Перепишем $\frac{- x + 1}{4}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{2} (- x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $- x + 1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x + 1)}{4}}$

Этап 3.5.2.2

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x + 1)}{2^{2} \cdot 1}}$

Этап 3.5.2.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (- x + 1)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (- x + 1)}$

Этап 3.5.3

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{- x + 1}$

Этап 3.5.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{- x + 1}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$

Этап 3.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$

Этап 3.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$

Этап 3.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}, - \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}, - \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$ обратной к $f (x) = - 4 x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = - 4 x^{2} + 1$ и $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}, - \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = - 4 x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, 1]$

Этап 5.3

Найдем область определения $\frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{- x + 1}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$- x + 1 \geq 0$

Этап 5.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$- x \geq - 1$

Этап 5.3.2.2

Разделим каждый член $- x \geq - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Разделим каждый член $- x \geq - 1$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Этап 5.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Этап 5.3.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 1}$

Этап 5.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x \leq 1$

Этап 5.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 1]$

Этап 5.4

Найдем область определения $f (x) = - 4 x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 5.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}, - \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = - 4 x^{2} + 1$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}, - \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$ , представляет область определения $f (x) = - 4 x^{2} + 1$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}, - \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$ — обратная к $f (x) = - 4 x^{2} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}, - \frac{\sqrt{- x + 1}}{2}$

Этап 6