Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = e^{x + 4}$

Этап 1

Запишем $f (x) = e^{x + 4}$ в виде уравнения.

$y = e^{x + 4}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = e^{y + 4}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $e^{y + 4} = x$ .

$e^{y + 4} = x$

Этап 3.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{y + 4}) = \ln (x)$

Этап 3.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Развернем $\ln (e^{y + 4})$ , вынося $y + 4$ из логарифма.

$(y + 4) \ln (e) = \ln (x)$

Этап 3.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$(y + 4) \cdot 1 = \ln (x)$

Этап 3.3.3

Умножим $y + 4$ на $1$ .

$y + 4 = \ln (x)$

Этап 3.4

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$y = \ln (x) - 4$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \ln (x) - 4$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \ln (x) - 4$ обратной к $f (x) = e^{x + 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (e^{x + 4})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{x + 4}) = \ln (e^{x + 4}) - 4$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $x + 4$ из степени.

$f^{- 1} (e^{x + 4}) = (x + 4) \ln (e) - 4$

Этап 5.2.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f^{- 1} (e^{x + 4}) = (x + 4) \cdot 1 - 4$

Этап 5.2.3.3

Умножим $x + 4$ на $1$ .

$f^{- 1} (e^{x + 4}) = x + 4 - 4$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $x + 4 - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Вычтем $4$ из $4$ .

$f^{- 1} (e^{x + 4}) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (e^{x + 4}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\ln (x) - 4)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\ln (x) - 4) = e^{(\ln (x) - 4) + 4}$

Этап 5.3.3

Объединим противоположные члены в $(\ln (x) - 4) + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Добавим $- 4$ и $4$ .

$f (\ln (x) - 4) = e^{\ln (x) + 0}$

Этап 5.3.3.2

Добавим $\ln (x)$ и $0$ .

$f (\ln (x) - 4) = e^{\ln (x)}$

Этап 5.3.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\ln (x) - 4) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \ln (x) - 4$ — обратная к $f (x) = e^{x + 4}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (x) - 4$