Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = - \sqrt{x + 1}$

Этап 1

Запишем $f (x) = - \sqrt{x + 1}$ в виде уравнения.

$y = - \sqrt{x + 1}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = - \sqrt{y + 1}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $- \sqrt{y + 1} = x$ .

$- \sqrt{y + 1} = x$

Этап 3.2

Разделим каждый член $- \sqrt{y + 1} = x$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $- \sqrt{y + 1} = x$ на $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{y + 1}}{- 1} = \frac{x}{- 1}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\sqrt{y + 1}}{1} = \frac{x}{- 1}$

Этап 3.2.2.2

Разделим $\sqrt{y + 1}$ на $1$ .

$\sqrt{y + 1} = \frac{x}{- 1}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{x}{- 1}$ .

$\sqrt{y + 1} = - 1 \cdot x$

Этап 3.2.3.2

Перепишем $- 1 \cdot x$ в виде $- x$ .

$\sqrt{y + 1} = - x$

Этап 3.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{y + 1}}^{2} = {(- x)}^{2}$

Этап 3.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y + 1}$ в виде ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x)}^{2}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим ${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(y + 1)}^{1} = {(- x)}^{2}$

Этап 3.4.2.1.2

Упростим.

$y + 1 = {(- x)}^{2}$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Упростим ${(- x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1

Применим правило умножения к $- x$ .

$y + 1 = {(- 1)}^{2} x^{2}$

Этап 3.4.3.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$y + 1 = 1 x^{2}$

Этап 3.4.3.1.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$y + 1 = x^{2}$

Этап 3.5

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = x^{2} - 1$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$ обратной к $f (x) = - \sqrt{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (- \sqrt{x + 1})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(- \sqrt{x + 1})}^{2} - 1$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{x + 1}$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(- 1)}^{2} {\sqrt{x + 1}}^{2} - 1$

Этап 5.2.3.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = 1 {\sqrt{x + 1}}^{2} - 1$

Этап 5.2.3.3

Умножим ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ на $1$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {\sqrt{x + 1}}^{2} - 1$

Этап 5.2.3.4

Перепишем ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ в виде $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 1}$ в виде ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1$

Этап 5.2.3.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1$

Этап 5.2.3.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1$

Этап 5.2.3.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1$

Этап 5.2.3.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = (x + 1) - 1$

Этап 5.2.3.4.5

Упростим.

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = x + 1 - 1$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $x + 1 - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (x^{2} - 1)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (x^{2} - 1) = - \sqrt{(x^{2} - 1) + 1}$

Этап 5.3.3

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f (x^{2} - 1) = - \sqrt{x^{2} + 0}$

Этап 5.3.4

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$f (x^{2} - 1) = - \sqrt{x^{2}}$

Этап 5.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (x^{2} - 1) = - x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$ — обратная к $f (x) = - \sqrt{x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$