Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{2} + 8 x$

Этап 1

Запишем $f (x) = x^{2} + 8 x$ в виде уравнения.

$y = x^{2} + 8 x$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = y^{2} + 8 y$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $y^{2} + 8 y = x$ .

$y^{2} + 8 y = x$

Этап 3.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} + 8 y - x = 0$

Этап 3.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.4

Подставим значения $a = 1$ , $b = 8$ и $c = - x$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.3

Вынесем множитель $4$ из $64 + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $64$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 \cdot 16 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.3.2

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 16 + 4 x$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.4

Перепишем $4 (16 + x)$ в виде $2^{2} (4^{2} + x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.4.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} (4^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{4^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.6

Возведем $4$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$

Этап 3.5.3

Упростим $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$ .

$y = - 4 \pm \sqrt{16 + x}$

Этап 3.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.3

Вынесем множитель $4$ из $64 + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $64$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 \cdot 16 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.3.2

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 16 + 4 x$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.4

Перепишем $4 (16 + x)$ в виде $2^{2} (4^{2} + x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.4.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} (4^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{4^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.6

Возведем $4$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$

Этап 3.6.3

Упростим $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$ .

$y = - 4 \pm \sqrt{16 + x}$

Этап 3.6.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = - 4 + \sqrt{16 + x}$

Этап 3.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.3

Вынесем множитель $4$ из $64 + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $64$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 \cdot 16 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.3.2

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 16 + 4 x$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.4

Перепишем $4 (16 + x)$ в виде $2^{2} (4^{2} + x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.4.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} (4^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{4^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.6

Возведем $4$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$

Этап 3.7.3

Упростим $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$ .

$y = - 4 \pm \sqrt{16 + x}$

Этап 3.7.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = - 4 - \sqrt{16 + x}$

Этап 3.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = - 4 + \sqrt{16 + x}$

$y = - 4 - \sqrt{16 + x}$

$y = - 4 + \sqrt{16 + x}$

$y = - 4 - \sqrt{16 + x}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - 4 + \sqrt{16 + x}, - 4 - \sqrt{16 + x}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - 4 + \sqrt{16 + x}, - 4 - \sqrt{16 + x}$ обратной к $f (x) = x^{2} + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = x^{2} + 8 x$ и $f^{- 1} (x) = - 4 + \sqrt{16 + x}, - 4 - \sqrt{16 + x}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = x^{2} + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[- 16, \infty)$

Этап 5.3

Найдем область определения $- 4 + \sqrt{16 + x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{16 + x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$16 + x \geq 0$

Этап 5.3.2

Вычтем $16$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 16$

Этап 5.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- 16, \infty)$

Этап 5.4

Найдем область определения $f (x) = x^{2} + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 5.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = - 4 + \sqrt{16 + x}, - 4 - \sqrt{16 + x}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = x^{2} + 8 x$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = - 4 + \sqrt{16 + x}, - 4 - \sqrt{16 + x}$ , представляет область определения $f (x) = x^{2} + 8 x$ , то $f^{- 1} (x) = - 4 + \sqrt{16 + x}, - 4 - \sqrt{16 + x}$ — обратная к $f (x) = x^{2} + 8 x$ .

$f^{- 1} (x) = - 4 + \sqrt{16 + x}, - 4 - \sqrt{16 + x}$

Этап 6