Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x + 3}{x - 2}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{x + 3}{x - 2}$ в виде уравнения.

$y = \frac{x + 3}{x - 2}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{y + 3}{y - 2}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим уравнение на $y - 2$ .

$(y - 2) (x) = (\frac{y + 3}{y - 2}) (y - 2)$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y x - 2 x = (\frac{y + 3}{y - 2}) (y - 2)$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $y - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y x - 2 x = \frac{y + 3}{y - 2} (y - 2)$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y x - 2 x = y + 3$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$y x - 2 x - y = 3$

Этап 3.4.2

Добавим $2 x$ к обеим частям уравнения.

$y x - y = 3 + 2 x$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $y$ из $y x - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y x$ .

$y (x) - y = 3 + 2 x$

Этап 3.4.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = 3 + 2 x$

Этап 3.4.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = 3 + 2 x$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $y (x - 1) = 3 + 2 x$ на $x - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $y (x - 1) = 3 + 2 x$ на $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{3}{x - 1} + \frac{2 x}{x - 1}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{3}{x - 1} + \frac{2 x}{x - 1}$

Этап 3.4.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{3}{x - 1} + \frac{2 x}{x - 1}$

Этап 3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{3 + 2 x}{x - 1}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 + 2 x}{x - 1}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{3 + 2 x}{x - 1}$ обратной к $f (x) = \frac{x + 3}{x - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{3 + 2 (\frac{x + 3}{x - 2})}{(\frac{x + 3}{x - 2}) - 1}$

Этап 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $\frac{3 + 2 \frac{x + 3}{x - 2}}{\frac{x + 3}{x - 2} - 1}$ на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{x - 2}{x - 2} \cdot \frac{3 + 2 (\frac{x + 3}{x - 2})}{\frac{x + 3}{x - 2} - 1}$

Этап 5.2.3.2

Объединим.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (3 + 2 (\frac{x + 3}{x - 2}))}{(x - 2) (\frac{x + 3}{x - 2} - 1)}$

Этап 5.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) \cdot 3 + (x - 2) (2 (\frac{x + 3}{x - 2}))}{(x - 2) (\frac{x + 3}{x - 2}) + (x - 2) \cdot - 1}$

Этап 5.2.5

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) \cdot 3 + (x - 2) (2 (\frac{x + 3}{x - 2}))}{(x - 2) (\frac{x + 3}{x - 2}) + (x - 2) \cdot - 1}$

Этап 5.2.5.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) \cdot 3 + (x - 2) (2 (\frac{x + 3}{x - 2}))}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

Этап 5.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Вынесем множитель $x - 2$ из $(x - 2) \cdot 3 + (x - 2) \cdot 2 \frac{x + 3}{x - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1.1

Вынесем множитель $x - 2$ из $(x - 2) \cdot 3$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (3) + (x - 2) (2 (\frac{x + 3}{x - 2}))}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

Этап 5.2.6.1.2

Вынесем множитель $x - 2$ из $(x - 2) (3) + (x - 2) (2 \frac{x + 3}{x - 2})$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (3 + 2 (\frac{x + 3}{x - 2}))}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

Этап 5.2.6.2

Объединим $2$ и $\frac{x + 3}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (3 + \frac{2 (x + 3)}{x - 2})}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

Этап 5.2.6.3

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 (x - 2)}{x - 2} + \frac{2 (x + 3)}{x - 2})}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

Этап 5.2.6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 (x - 2) + 2 (x + 3)}{x - 2})}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

Этап 5.2.6.5

Перепишем $\frac{3 (x - 2) + 2 (x + 3)}{x - 2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x + 3 \cdot - 2 + 2 (x + 3)}{x - 2})}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

Этап 5.2.6.5.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x - 6 + 2 (x + 3)}{x - 2})}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

Этап 5.2.6.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x - 6 + 2 x + 2 \cdot 3}{x - 2})}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

Этап 5.2.6.5.4

Умножим $2$ на $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x - 6 + 2 x + 6}{x - 2})}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

Этап 5.2.6.5.5

Добавим $3 x$ и $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x - 6 + 6}{x - 2})}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

Этап 5.2.6.5.6

Добавим $- 6$ и $6$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x + 0}{x - 2})}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

Этап 5.2.6.5.7

Добавим $5 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x}{x - 2})}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

Этап 5.2.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x}{x - 2})}{x + 3 + x \cdot - 1 - 2 \cdot - 1}$

Этап 5.2.7.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x}{x - 2})}{x + 3 - 1 \cdot x - 2 \cdot - 1}$

Этап 5.2.7.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x}{x - 2})}{x + 3 - 1 \cdot x + 2}$

Этап 5.2.7.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x}{x - 2})}{x + 3 - x + 2}$

Этап 5.2.7.5

Вычтем $x$ из $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x}{x - 2})}{0 + 3 + 2}$

Этап 5.2.7.6

Добавим $0$ и $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x}{x - 2})}{3 + 2}$

Этап 5.2.7.7

Добавим $3$ и $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x}{x - 2})}{5}$

Этап 5.2.8

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Вынесем множитель $\frac{5 x}{x - 2}$ из $\frac{(x - 2) \frac{5 x}{x - 2}}{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{5 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{5}$

Этап 5.2.8.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{5 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{5}$

Этап 5.2.8.2.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{5 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{5}$

Этап 5.2.8.2.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Этап 5.2.8.3

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.3.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Этап 5.2.8.3.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{3 + 2 x}{x - 1})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{(\frac{3 + 2 x}{x - 1}) + 3}{(\frac{3 + 2 x}{x - 1}) - 2}$

Этап 5.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим $\frac{\frac{3 + 2 x}{x - 1} + 3}{\frac{3 + 2 x}{x - 1} - 2}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{3 + 2 x}{x - 1} + 3}{\frac{3 + 2 x}{x - 1} - 2}$

Этап 5.3.3.2

Объединим.

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{3 + 2 x}{x - 1} + 3)}{(x - 1) (\frac{3 + 2 x}{x - 1} - 2)}$

Этап 5.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 3}{(x - 1) (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

Этап 5.3.5

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 3}{(x - 1) (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

Этап 5.3.5.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{3 + 2 x + (x - 1) \cdot 3}{(x - 1) (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

Этап 5.3.5.2

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{3 + 2 x + (x - 1) \cdot 3}{(x - 1) (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

Этап 5.3.5.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{3 + 2 x + (x - 1) \cdot 3}{3 + 2 x + (x - 1) \cdot - 2}$

Этап 5.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{3 + 2 x + x \cdot 3 - 1 \cdot 3}{3 + 2 x + (x - 1) \cdot - 2}$

Этап 5.3.6.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{3 + 2 x + 3 \cdot x - 1 \cdot 3}{3 + 2 x + (x - 1) \cdot - 2}$

Этап 5.3.6.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{3 + 2 x + 3 \cdot x - 3}{3 + 2 x + (x - 1) \cdot - 2}$

Этап 5.3.6.4

Вычтем $3$ из $3$ .

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{2 x + 3 x + 0}{3 + 2 x + (x - 1) \cdot - 2}$

Этап 5.3.6.5

Добавим $2 x + 3 x$ и $0$ .

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{2 x + 3 x}{3 + 2 x + (x - 1) \cdot - 2}$

Этап 5.3.6.6

Добавим $2 x$ и $3 x$ .

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{3 + 2 x + (x - 1) \cdot - 2}$

Этап 5.3.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{3 + 2 x + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2}$

Этап 5.3.7.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{3 + 2 x - 2 \cdot x - 1 \cdot - 2}$

Этап 5.3.7.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{3 + 2 x - 2 \cdot x + 2}$

Этап 5.3.7.4

Добавим $3$ и $2$ .

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{2 x - 2 x + 5}$

Этап 5.3.7.5

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{0 + 5}$

Этап 5.3.7.6

Добавим $0$ и $5$ .

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{5}$

Этап 5.3.8

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{5}$

Этап 5.3.8.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{3 + 2 x}{x - 1}$ — обратная к $f (x) = \frac{x + 3}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 + 2 x}{x - 1}$