Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{3 x - 6}{4}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{3 x - 6}{4}$ в виде уравнения.

$y = \frac{3 x - 6}{4}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{3 y - 6}{4}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{3 y - 6}{4} = x$ .

$\frac{3 y - 6}{4} = x$

Этап 3.2

Умножим обе части на $4$ .

$\frac{3 y - 6}{4} \cdot 4 = x \cdot 4$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Упростим $\frac{3 y - 6}{4} \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 y - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 y$ .

$\frac{3 (y) - 6}{4} \cdot 4 = x \cdot 4$

Этап 3.3.1.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$\frac{3 y + 3 \cdot - 2}{4} \cdot 4 = x \cdot 4$

Этап 3.3.1.1.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 y + 3 \cdot - 2$ .

$\frac{3 (y - 2)}{4} \cdot 4 = x \cdot 4$

Этап 3.3.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (y - 2)}{4} \cdot 4 = x \cdot 4$

Этап 3.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$3 (y - 2) = x \cdot 4$

Этап 3.3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y + 3 \cdot - 2 = x \cdot 4$

Этап 3.3.1.1.4

Умножим $3$ на $- 2$ .

$3 y - 6 = x \cdot 4$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$3 y - 6 = 4 x$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$3 y = 4 x + 6$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $3 y = 4 x + 6$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $3 y = 4 x + 6$ на $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{4 x}{3} + \frac{6}{3}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y}{3} = \frac{4 x}{3} + \frac{6}{3}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{6}{3}$

Этап 3.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Разделим $6$ на $3$ .

$y = \frac{4 x}{3} + 2$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{3} + 2$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{3} + 2$ обратной к $f (x) = \frac{3 x - 6}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{3 x - 6}{4})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 6}{4}) = \frac{4 (\frac{3 x - 6}{4})}{3} + 2$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 6}{4}) = \frac{4 (\frac{3 (x) - 6}{4})}{3} + 2$

Этап 5.2.3.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 6}{4}) = \frac{4 (\frac{3 x + 3 \cdot - 2}{4})}{3} + 2$

Этап 5.2.3.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 x + 3 \cdot - 2$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 6}{4}) = \frac{4 (\frac{3 (x - 2)}{4})}{3} + 2$

Этап 5.2.3.2

Объединим $4$ и $\frac{3 (x - 2)}{4}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 6}{4}) = \frac{\frac{4 (3 (x - 2))}{4}}{3} + 2$

Этап 5.2.3.3

Умножим $4$ на $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 6}{4}) = \frac{\frac{12 (x - 2)}{4}}{3} + 2$

Этап 5.2.3.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1

Сократим выражение $\frac{12 (x - 2)}{4}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1.1

Вынесем множитель $4$ из $12 (x - 2)$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 6}{4}) = \frac{\frac{4 (3 (x - 2))}{4}}{3} + 2$

Этап 5.2.3.4.1.2

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 6}{4}) = \frac{\frac{4 (3 (x - 2))}{4 (1)}}{3} + 2$

Этап 5.2.3.4.1.3

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 6}{4}) = \frac{\frac{4 (3 (x - 2))}{4 \cdot 1}}{3} + 2$

Этап 5.2.3.4.1.4

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 6}{4}) = \frac{\frac{3 (x - 2)}{1}}{3} + 2$

Этап 5.2.3.4.2

Разделим $3 (x - 2)$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 6}{4}) = \frac{3 (x - 2)}{3} + 2$

Этап 5.2.3.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.5.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{3 x - 6}{4}) = \frac{3 (x - 2)}{3} + 2$

Этап 5.2.3.5.2

Разделим $x - 2$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 6}{4}) = x - 2 + 2$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $x - 2 + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 6}{4}) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x - 6}{4}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{4 x}{3} + 2)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{4 x}{3} + 2) = \frac{3 (\frac{4 x}{3} + 2) - 6}{4}$

Этап 5.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3 (\frac{4 x}{3} + 2) - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$f (\frac{4 x}{3} + 2) = \frac{3 (\frac{4 x}{3} + 2) + 3 \cdot - 2}{4}$

Этап 5.3.3.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 (\frac{4 x}{3} + 2) + 3 \cdot - 2$ .

$f (\frac{4 x}{3} + 2) = \frac{3 (\frac{4 x}{3} + 2 - 2)}{4}$

Этап 5.3.3.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (\frac{4 x}{3} + 2) = \frac{3 (\frac{4 x}{3} + 0)}{4}$

Этап 5.3.3.3

Добавим $\frac{4 x}{3}$ и $0$ .

$f (\frac{4 x}{3} + 2) = \frac{3 (\frac{4 x}{3})}{4}$

Этап 5.3.4

Объединим $3$ и $\frac{4 x}{3}$ .

$f (\frac{4 x}{3} + 2) = \frac{\frac{3 (4 x)}{3}}{4}$

Этап 5.3.5

Умножим $3$ на $4$ .

$f (\frac{4 x}{3} + 2) = \frac{\frac{12 x}{3}}{4}$

Этап 5.3.6

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Сократим выражение $\frac{12 x}{3}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1.1

Вынесем множитель $3$ из $12 x$ .

$f (\frac{4 x}{3} + 2) = \frac{\frac{3 (4 x)}{3}}{4}$

Этап 5.3.6.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f (\frac{4 x}{3} + 2) = \frac{\frac{3 (4 x)}{3 (1)}}{4}$

Этап 5.3.6.1.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{4 x}{3} + 2) = \frac{\frac{3 (4 x)}{3 \cdot 1}}{4}$

Этап 5.3.6.1.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{4 x}{3} + 2) = \frac{\frac{4 x}{1}}{4}$

Этап 5.3.6.2

Разделим $4 x$ на $1$ .

$f (\frac{4 x}{3} + 2) = \frac{4 x}{4}$

Этап 5.3.7

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{4 x}{3} + 2) = \frac{4 x}{4}$

Этап 5.3.7.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (\frac{4 x}{3} + 2) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{3} + 2$ — обратная к $f (x) = \frac{3 x - 6}{4}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{3} + 2$